Misalkan f(x) menunjukkan jumlah angka-angka dalam bilangan

10

Pembahasan

Misalkan x adalah bilangan positif dengan dua angka. Kita dapat menulis x sebagai 10a + b, di mana a adalah angka puluhan dan b adalah angka satuan. Nilai a berkisar dari 1 hingga 9, dan nilai b berkisar dari 0 hingga 9. Fungsi f(x) adalah jumlah angka-angka x, jadi f(x) = a + b.

Fungsi komposisi (f o f)(x) berarti f(f(x)).
Karena f(x) = a + b, maka (f o f)(x) = f(a + b).
Karena a dan b adalah angka, a + b akan menjadi bilangan positif. Jika a + b adalah bilangan satu angka, maka f(a + b) = a + b.
Jika a + b adalah bilangan dua angka, katakanlah 10c + d, maka f(a + b) = c + d.

Kita diberi tahu bahwa (f o f)(x) = 3.

Kasus 1: a + b adalah bilangan satu angka.
Dalam kasus ini, f(a + b) = a + b. Jadi, a + b = 3.
Kemungkinan pasangan (a, b) yang memenuhi adalah:
(1, 2), (2, 1), (3, 0).
Ini memberikan bilangan x = 12, 21, 30.
Untuk x = 12, f(12) = 1 + 2 = 3. f(f(12)) = f(3) = 3.
Untuk x = 21, f(21) = 2 + 1 = 3. f(f(21)) = f(3) = 3.
Untuk x = 30, f(30) = 3 + 0 = 3. f(f(30)) = f(3) = 3.

Kasus 2: a + b adalah bilangan dua angka.
Misalkan a + b = 10c + d, di mana c adalah angka puluhan dan d adalah angka satuan.
Dalam kasus ini, f(a + b) = c + d. Jadi, c + d = 3.
Kita juga tahu bahwa a + b = 10c + d.
Karena a berkisar dari 1 hingga 9 dan b berkisar dari 0 hingga 9, nilai maksimum a + b adalah 9 + 9 = 18.
Jadi, a + b bisa bernilai antara 10 dan 18.
Jika a + b adalah bilangan dua angka, maka 10c + d 
Jika a + b = 10, maka c = 1, d = 0. f(a+b) = 1+0 = 1. Ini tidak sama dengan 3.
Jika a + b = 11, maka c = 1, d = 1. f(a+b) = 1+1 = 2. Ini tidak sama dengan 3.
Jika a + b = 12, maka c = 1, d = 2. f(a+b) = 1+2 = 3. Ini memenuhi c + d = 3.
Jika a + b = 13, maka c = 1, d = 3. f(a+b) = 1+3 = 4. Ini tidak sama dengan 3.
Jika a + b = 14, maka c = 1, d = 4. f(a+b) = 1+4 = 5. Ini tidak sama dengan 3.
Jika a + b = 15, maka c = 1, d = 5. f(a+b) = 1+5 = 6. Ini tidak sama dengan 3.
Jika a + b = 16, maka c = 1, d = 6. f(a+b) = 1+6 = 7. Ini tidak sama dengan 3.
Jika a + b = 17, maka c = 1, d = 7. f(a+b) = 1+7 = 8. Ini tidak sama dengan 3.
Jika a + b = 18, maka c = 1, d = 8. f(a+b) = 1+8 = 9. Ini tidak sama dengan 3.

Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan kasus di mana a + b = 12.
Pasangan (a, b) yang memenuhi a + b = 12, dengan a antara 1-9 dan b antara 0-9 adalah:
(3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3).
Ini memberikan bilangan x = 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93.
Mari kita periksa untuk salah satu bilangan, misalnya x = 39:
f(39) = 3 + 9 = 12.
f(f(39)) = f(12) = 1 + 2 = 3. Ini memenuhi.

Jumlah total bilangan x yang memenuhi adalah bilangan dari Kasus 1 ditambah bilangan dari Kasus 2.
Total = 3 (dari Kasus 1) + 7 (dari Kasus 2) = 10.

Jadi, banyaknya bilangan x yang terdiri dari 2 angka dan memenuhi (fof)(x)= 3 adalah 10.