Misalkan log dinotasikan sebagai logaritma dengan basis 10.

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma.

Diketahui ekspresi: 5^(log 2) + 2^(log 5) - 50^(log 2)

Kita tahu bahwa a^(log b) = b^(log a). Dengan menggunakan sifat ini:
5^(log 2) = 2^(log 5)

Sekarang, perhatikan suku terakhir: 50^(log 2).
Kita bisa menulis 50 sebagai 5 * 10.
Jadi, 50^(log 2) = (5 * 10)^(log 2) = 5^(log 2) * 10^(log 2).

Namun, ada cara yang lebih sederhana. Kita bisa menggunakan sifat logaritma bahwa a^log_c(b) = b^log_c(a).
Dalam kasus ini, basis logaritma tidak disebutkan, jadi kita asumsikan basis 10 (log).

Jadi, 5^(log 2) = 2^(log 5).

Sekarang kita evaluasi 50^(log 2).
Kita bisa menulis 50 sebagai 100/2.
50^(log 2) = (100/2)^(log 2) = (10^2 / 2)^(log 2)
Ini menjadi rumit. Mari kita coba pendekatan lain.

Perhatikan sifat: a^(log_b c) = c^(log_b a).
Jadi, 5^(log 2) = 2^(log 5).

Sekarang, mari kita ubah 50^(log 2). Kita bisa menulis 50 sebagai 5 * 10.
50^(log 2) = (5 * 10)^(log 2) = 5^(log 2) * 10^(log 2).
Ini juga tidak membantu secara langsung.

Mari kita gunakan sifat lain: a^(log_a b) = b. Ini tidak berlaku di sini karena basisnya berbeda.

Perhatikan 50^(log 2). Kita tahu log 10 = 1 (basis 10).
50^(log 2) = (10 * 5)^(log 2) = 10^(log 2) * 5^(log 2).
Ini juga belum.

Mari kita gunakan identitas logaritma: x = 10^(log x).
Jadi, 5^(log 2) = 10^(log(5^(log 2))) = 10^((log 2) * (log 5)).
Dan 2^(log 5) = 10^(log(2^(log 5))) = 10^((log 5) * (log 2)).
Jadi, 5^(log 2) = 2^(log 5).

Sekarang untuk 50^(log 2).
50^(log 2) = 10^(log(50^(log 2))) = 10^((log 2) * (log 50)).
log 50 = log (100/2) = log 100 - log 2 = 2 - log 2.
Jadi, 50^(log 2) = 10^((log 2) * (2 - log 2)) = 10^(2 log 2 - (log 2)^2).

Ini menjadi sangat rumit. Mari kita coba manipulasi lain.

Kita tahu a^(log b) = b^(log a).
Misalkan x = 5^(log 2) + 2^(log 5) - 50^(log 2).
Karena 5^(log 2) = 2^(log 5), maka x = 2 * 5^(log 2) - 50^(log 2).

Perhatikan 50^(log 2). Kita bisa menulis 50 sebagai 5^2 * 2, atau 5 * 10.
50^(log 2) = (5 * 10)^(log 2) = 5^(log 2) * 10^(log 2) = 5^(log 2) * 10^(log 10 / log 10) = 5^(log 2) * 10^1 = 10 * 5^(log 2).
Ini adalah penggunaan yang salah. log 10 = 1 jika basisnya 10. 10^(log 2) = 2.
Jadi, 50^(log 2) = 5^(log 2) * 2. Ini juga salah.

Mari kita gunakan sifat a^(log b) = b^(log a) sekali lagi, tapi dengan basis yang berbeda jika perlu.
Namun, di sini basisnya sama (10).

5^(log 2) = 2^(log 5)

Sekarang, 50^(log 2).
Kita bisa menulis 50 sebagai 5^2 * 2. Ini tidak membantu.
Kita bisa menulis 50 sebagai 100/2.
50^(log 2) = (100/2)^(log 2) = (10^2 / 2)^(log 2) = (10^2)^(log 2) / 2^(log 2) = 10^(2 log 2) / 2^(log 2).

Mari kita gunakan sifat bahwa log_b(x^y) = y * log_b(x).
Jadi, log 50 = log (5 * 10) = log 5 + log 10 = log 5 + 1.

50^(log 2) = (10 * 5)^(log 2) = 10^(log 2) * 5^(log 2) = 2 * 5^(log 2).
Ini adalah kunci nya! Mengapa? Karena 10^(log 2) = 2.

Jadi, ekspresi menjadi:
5^(log 2) + 2^(log 5) - (2 * 5^(log 2))

Karena 5^(log 2) = 2^(log 5), kita bisa substitusi:
2^(log 5) + 2^(log 5) - 2 * 2^(log 5)
= 2 * 2^(log 5) - 2 * 2^(log 5)
= 0

Mari kita verifikasi 50^(log 2) = 2 * 5^(log 2).
50^(log 2) = (5^2 * 2)^(log 2) = (5^2)^(log 2) * 2^(log 2) = 5^(2 log 2) * 2^(log 2).
Ini tidak sama.

Mari kita gunakan sifat a^(log_c b) = b^(log_c a) dengan c = 10.
5^(log 2) = 2^(log 5).

Sekarang, perhatikan 50^(log 2).
Kita bisa tulis 50 = 100 / 2.
50^(log 2) = (100/2)^(log 2) = (10^2 / 2)^(log 2) = (10^2)^(log 2) / 2^(log 2) = 10^(2 log 2) / 2^(log 2).

Atau, 50 = 5 * 10.
50^(log 2) = (5 * 10)^(log 2) = 5^(log 2) * 10^(log 2) = 5^(log 2) * 2. Ini benar karena 10^(log 2) = 2.

Maka ekspresinya adalah:
5^(log 2) + 2^(log 5) - (5^(log 2) * 2).

Karena 5^(log 2) = 2^(log 5), substitusi:
2^(log 5) + 2^(log 5) - (2^(log 5) * 2)
= 2 * 2^(log 5) - 2 * 2^(log 5)
= 0

Jadi, nilai dari 5^(log 2)+2^(log 5)-50^(log 2) adalah 0.