Misalkan x, y , dan z memenuhi sistem persamaan { (-x-2

y = (akar(3) + akar(2))/2

Pembahasan

Karena x, y, dan z adalah suku berurutan pada suatu deret aritmatika, maka berlaku y - x = z - y, atau 2y = x + z.

Dari persamaan kedua, kita punya z^2 = 2x^2 - 4.

Substitusikan z = 2y - x ke dalam persamaan pertama:
(-x - 2y - (2y - x))(x - y + (2y - x)) + 2x(2y - x) = -5
(-4y)(y) + 4xy - 2x^2 = -5
-4y^2 + 4xy - 2x^2 = -5
2y^2 - 2xy + x^2 = 5/2

Kita juga punya z^2 = (2y - x)^2 = 4y^2 - 4xy + x^2 = 2x^2 - 4.
Maka, 4y^2 - 4xy - x^2 = -4.

Sekarang kita punya sistem persamaan:
1) 2y^2 - 2xy + x^2 = 5/2
2) 4y^2 - 4xy - x^2 = -4

Kalikan persamaan (1) dengan 2:
4y^2 - 4xy + 2x^2 = 5

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan ini:
(4y^2 - 4xy + 2x^2) - (4y^2 - 4xy - x^2) = 5 - (-4)
3x^2 = 9
x^2 = 3
x = ± akar(3)

Substitusikan x^2 = 3 ke dalam persamaan 2y^2 - 2xy + x^2 = 5/2:
2y^2 - 2xy + 3 = 5/2
2y^2 - 2xy = 5/2 - 3
2y^2 - 2xy = -1/2
4y^2 - 4xy = -1

Substitusikan x^2 = 3 ke dalam persamaan 4y^2 - 4xy - x^2 = -4:
4y^2 - 4xy - 3 = -4
4y^2 - 4xy = -1

Ini konsisten. Sekarang kita perlu mencari y. Kita tahu 2y = x + z.
Dari 4y^2 - 4xy = -1, kita tidak bisa langsung mendapatkan y tanpa x.

Mari kita coba cara lain. Dari 2y = x + z, maka z = 2y - x.
Substitusikan ke 2x^2 - z^2 = 4:
2x^2 - (2y - x)^2 = 4
2x^2 - (4y^2 - 4xy + x^2) = 4
x^2 - 4y^2 + 4xy = 4

Kembali ke persamaan pertama:
(-x - 2y - z)(x - y + z) + 2xz = -5
Gunakan 2y = x + z => z = 2y - x
Gunakan x - y + z = x - y + (2y - x) = y
Gunakan -x - 2y - z = -x - 2y - (2y - x) = -4y

Maka persamaan menjadi:
(-4y)(y) + 2x(2y - x) = -5
-4y^2 + 4xy - 2x^2 = -5
2x^2 - 4xy + 4y^2 = 5

Kita punya sistem:
1) x^2 - 4y^2 + 4xy = 4
2) 2x^2 - 4xy + 4y^2 = 5

Tambahkan kedua persamaan:
3x^2 = 9
x^2 = 3
x = ± akar(3)

Substitusikan x^2 = 3 ke persamaan (2):
2(3) - 4xy + 4y^2 = 5
6 - 4xy + 4y^2 = 5
4y^2 - 4xy = -1

Kita perlu nilai y. Kita punya x = ±akar(3).
Jika x = akar(3):
4y^2 - 4(akar(3))y = -1
4y^2 - 4akar(3)y + 1 = 0

Gunakan rumus kuadratik untuk y:
y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
y = [4akar(3) ± sqrt((-4akar(3))^2 - 4 * 4 * 1)] / (2 * 4)
y = [4akar(3) ± sqrt(48 - 16)] / 8
y = [4akar(3) ± sqrt(32)] / 8
y = [4akar(3) ± 4akar(2)] / 8
y = (akar(3) ± akar(2)) / 2

Jika x = -akar(3):
4y^2 - 4(-akar(3))y = -1
4y^2 + 4akar(3)y + 1 = 0

y = [-4akar(3) ± sqrt((4akar(3))^2 - 4 * 4 * 1)] / (2 * 4)
y = [-4akar(3) ± sqrt(48 - 16)] / 8
y = [-4akar(3) ± sqrt(32)] / 8
y = [-4akar(3) ± 4akar(2)] / 8
y = (-akar(3) ± akar(2)) / 2

Mari kita cek pilihan jawaban:
(A) (akar(12)+akar(8))/4 = (2akar(3)+2akar(2))/4 = (akar(3)+akar(2))/2. Ini cocok dengan salah satu kemungkinan nilai y saat x=akar(3).