N! is defined N!=N(N-1)(N-2) .... (3)(2)(1). For example,

4

Pembahasan

Untuk mencari digit non-nol terakhir dari 20!, kita perlu menghitung faktorialnya dan mengabaikan nol di akhir. Cara yang lebih efisien adalah dengan mengidentifikasi pola dan menggunakan sifat-sifat perkalian.

Perlu diperhatikan bahwa nol di akhir faktorial berasal dari pasangan faktor 2 dan 5 dalam perkalian. Karena jumlah faktor 2 selalu lebih banyak daripada faktor 5, kita hanya perlu menghitung jumlah faktor 5.

Jumlah faktor 5 dalam 20! adalah:
- Kelipatan 5: 5, 10, 15, 20 (ada 4 bilangan)
- Kelipatan 25: Tidak ada dalam rentang 1-20.

Jadi, ada 4 faktor 5 dalam 20!.

Sekarang kita perlu mencari digit non-nol terakhir dari perkalian bilangan-bilangan tersebut setelah mengabaikan faktor 10 (yang berasal dari 2*5).

20! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20

Mari kita fokus pada digit terakhir dari perkalian bilangan yang bukan kelipatan 5:
1 * 2 * 3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9 * 11 * 12 * 13 * 14 * 16 * 17 * 18 * 19

Kita juga perlu mempertimbangkan kelipatan 5 (5, 10, 15, 20) dan bagaimana mereka mempengaruhi digit terakhir:

Metode yang lebih sistematis:
Digit terakhir dari n! dapat ditemukan dengan mempertimbangkan perkalian modulo 10, tetapi kita perlu hati-hati dengan nol di akhir.

Alternatif yang lebih mudah adalah menghitung digit terakhir dari perkalian:
1 * 2 * 3 * 4 = 24 (digit terakhir 4)
6 * 7 * 8 * 9 = 3024 (digit terakhir 4)
11 * 12 * 13 * 14 = 24024 (digit terakhir 4)
16 * 17 * 18 * 19 = 93024 (digit terakhir 4)

Sekarang kita gabungkan:
Digit terakhir dari (1*2*3*4 * 6*7*8*9 * 11*12*13*14 * 16*17*18*19) adalah digit terakhir dari (4 * 4 * 4 * 4) = 256, yaitu 6.

Sekarang kita perlu memasukkan kelipatan 5: 5, 10, 15, 20.

5 * 10 * 15 * 20 = 15000

Sekarang kita perlu mengalikan hasil digit terakhir dari bilangan selain kelipatan 5 dengan hasil dari kelipatan 5, dan mengambil digit terakhirnya. Namun, ini tidak tepat karena kita harus mengalikan semua.

Mari kita gunakan metode yang lebih dikenal untuk digit non-nol terakhir dari n!:
Rumus Legendre dapat digunakan untuk menemukan jumlah faktor prima dalam n!. Namun, untuk digit non-nol terakhir, kita perlu metode yang berbeda.

Salah satu metode adalah:
- Hitung jumlah kelipatan 5 (n/5) dan kelipatan 25 (n/25), dst. untuk menemukan jumlah faktor 5. Ini memberi kita jumlah nol di akhir.
- Untuk 20!, jumlah faktor 5 adalah floor(20/5) = 4. Jadi ada 4 nol di akhir.

Sekarang kita perlu mencari digit non-nol terakhir dari 20! / 10^4.

Digit terakhir dari perkalian angka dari 1 hingga n, dengan mengecualikan faktor 5 dan pasangan 2*5 (yaitu, mengabaikan faktor 10):

Ambil angka dari 1 sampai 20:
1, 2, 3, 4, (5), 6, 7, 8, 9, (10), 11, 12, 13, 14, (15), 16, 17, 18, 19, (20)

Angka yang tersisa setelah membuang kelipatan 5:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19

Perhatikan bahwa 10 = 2*5, 20 = 4*5. Kita sudah menghitung faktor 5. Kita perlu mempertimbangkan faktor 2 yang tersisa.

Ada 4 kelipatan 5: 5, 10, 15, 20.
5 = 1 * 5
10 = 2 * 5
15 = 3 * 5
20 = 4 * 5

Total faktor 5 = 4.

Sekarang kita perlu melihat digit terakhir dari hasil perkalian:
(1 * 2 * 3 * 4) * (6 * 7 * 8 * 9) * (11 * 12 * 13 * 14) * (16 * 17 * 18 * 19) * (sisa dari 5, 10, 15, 20 setelah mengambil faktor 5).

Perhatikan angka yang tersisa setelah membuang kelipatan 5:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19

Digit terakhir dari perkalian ini adalah:
(1*2*3*4) mod 10 = 24 mod 10 = 4
(6*7*8*9) mod 10 = 3024 mod 10 = 4
(11*12*13*14) mod 10 = (1*2*3*4) mod 10 = 4
(16*17*18*19) mod 10 = (6*7*8*9) mod 10 = 4

Perkalian digit terakhir dari blok ini adalah (4 * 4 * 4 * 4) mod 10 = 256 mod 10 = 6.

Sekarang kita pertimbangkan kelipatan 5: 5, 10, 15, 20.
Kita perlu mengalikan dengan (1 * 2 * 3 * 4) dari (5*1, 5*2, 5*3, 5*4).

Jadi, kita perlu mengalikan hasil sebelumnya (digit terakhir 6) dengan digit terakhir dari:
(1 * 2 * 3 * 4) * (1 * 2 * 3 * 4) = 24 * 24 = 576. Digit terakhirnya adalah 6.

Sekarang kita perlu menggabungkan ini dengan faktor 2 yang berlebihan dari kelipatan 10 dan 20.

Cara yang lebih formal:
Untuk mencari digit non-nol terakhir dari n!, kita dapat menggunakan algoritma.
Let D(n) be the last non-zero digit of n!.
D(n) = (D(n/5) * D(n mod 5) * 2^(n/5)) mod 10, where D(0)=1, D(1)=1, D(2)=2, D(3)=6, D(4)=24->4.

Let's recalculate using the provided example: D(6!). n=6.
D(6) = (D(6/5) * D(6 mod 5) * 2^(6/5)) mod 10
D(6) = (D(1) * D(1) * 2^1) mod 10
D(6) = (1 * 1 * 2) mod 10 = 2. This matches the example.

Now for 20!:
n = 20.
D(20) = (D(20/5) * D(20 mod 5) * 2^(20/5)) mod 10
D(20) = (D(4) * D(0) * 2^4) mod 10
We know D(4) is the last non-zero digit of 4! = 24, which is 4.
D(0) = 1.
2^4 = 16.
D(20) = (4 * 1 * 16) mod 10
D(20) = (4 * 16) mod 10
D(20) = 64 mod 10
D(20) = 4.

Let's verify with another common method. The last non-zero digit of n! is determined by the last digit of the product of numbers not divisible by 5, after accounting for the factors of 2 and 5.

Numbers from 1 to 20:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Remove multiples of 5: 5, 10, 15, 20.
We have 4 multiples of 5, so 4 trailing zeros.

Consider the remaining numbers and their last digits:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19.

The pattern of the last digits of numbers ending in 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 is cyclic.
(1 * 2 * 3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9) mod 10 = 6.

For numbers from 1 to 10, the last non-zero digit is 8. (1*2*3*4*6*7*8*9) = 36288. Last non-zero digit is 8.

Let's use the property that the last non-zero digit of n! depends on the last digit of the product of numbers not divisible by 5, and the number of factors of 2.

Let L(n) be the last non-zero digit of n!.
L(n) = L(n // 5) * (last digit of numbers from 1 to n not divisible by 5) * (2 ^ (number of factors of 2 minus number of factors of 5))

This seems too complicated. Let's stick to the formula I found:
D(n) = (D(n/5) * D(n mod 5) * 2^(n/5)) mod 10
D(4) = 4 (last non-zero digit of 4! = 24)
D(0) = 1
2^(20/5) = 2^4 = 16

D(20) = (D(4) * D(0) * 2^4) mod 10 = (4 * 1 * 16) mod 10 = 64 mod 10 = 4.

Let's try to verify for 10!.
n = 10.
D(10) = (D(10/5) * D(10 mod 5) * 2^(10/5)) mod 10
D(10) = (D(2) * D(0) * 2^2) mod 10
D(2) = 2 (last non-zero digit of 2! = 2)
D(0) = 1
2^2 = 4
D(10) = (2 * 1 * 4) mod 10 = 8 mod 10 = 8.
10! = 3,628,800. The last non-zero digit is 8. This matches.

Let's recheck 6! example: D(6) = (D(1) * D(1) * 2^1) mod 10 = (1 * 1 * 2) mod 10 = 2. Correct.

Now for 20!:
D(20) = (D(4) * D(0) * 2^4) mod 10
D(4) = 4
D(0) = 1
2^4 = 16
D(20) = (4 * 1 * 16) mod 10 = 64 mod 10 = 4.

The last non zero digit of 20! is 4.