Nilai dari ekspresi lim x->0 (cos^2(x)-1)(2 sin 2x . tan x)

Nilai ekspresi adalah 0.

Pembahasan

Untuk mengevaluasi ekspresi $\lim_{x \to 0} (\cos^2(x)-1)(2 \sin 2x \cdot \tan x)$, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Langkah 1: Gunakan identitas trigonometri $\cos^2(x) - 1 = -\sin^2(x)$.
Ekspresi menjadi: $\lim_{x \to 0} (-\sin^2(x))(2 \sin 2x \cdot \tan x)$.

Langkah 2: Gunakan identitas $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ dan $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
Ekspresi menjadi: $\lim_{x \to 0} (-\sin^2(x))(2 (2 \sin x \cos x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x})$.

Langkah 3: Sederhanakan ekspresi.
Kita bisa membatalkan $\cos x$ di penyebut dan pembilang.
Ekspresi menjadi: $\lim_{x \to 0} (-\sin^2(x))(4 \sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x})$
$= \lim_{x \to 0} (-\sin^2(x))(4 \sin x)$ (dengan asumsi $\cos x \neq 0$, yang benar saat $x \to 0$)
$= \lim_{x \to 0} -4 \sin^3(x)$.

Langkah 4: Evaluasi limit.
Saat $x \to 0$, $\sin x \to 0$.
Jadi, $\lim_{x \to 0} -4 \sin^3(x) = -4 (0)^3 = -4 \cdot 0 = 0$.

Oleh karena itu, nilai dari ekspresi tersebut adalah 0.