Nilai dari integral 0 2 (1/akar(2x)-akar(2x)) dx=...

-2/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int_{0}^{2} (\frac{1}{\sqrt{2x}} - \sqrt{2x}}) dx$, kita perlu mengevaluasi integral tak tentu terlebih dahulu:

$\int (\frac{1}{\sqrt{2x}} - \sqrt{2x}}) dx = \int (\frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2} - \sqrt{2}x^{1/2}) dx$

Integralkan masing-masing suku:

$\int \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}}x^{1/2} = \sqrt{2}x^{1/2}$

$\int \sqrt{2}x^{1/2} dx = \sqrt{2} \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2}$

Jadi, integral tak tentunya adalah $\sqrt{2}x^{1/2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2}$.

Sekarang, evaluasi integral tentu dari 0 sampai 2:

$[\sqrt{2}x^{1/2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}x^{3/2}]_{0}^{2}$

$= (\sqrt{2}(2)^{1/2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2)^{3/2}) - (\sqrt{2}(0)^{1/2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}(0)^{3/2})$

$= (\sqrt{2}\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2\sqrt{2})) - (0 - 0)$

$= (2 - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2})$

$= (2 - \frac{4 \cdot 2}{3})$

$= (2 - \frac{8}{3})$

$= \frac{6}{3} - \frac{8}{3}$

$= -\frac{2}{3}$

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah -2/3.