Nilai dari lim _(t -> a) (5 t-5 a-tan (5 t-5

a. -(125)/(3)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{t \to a} \frac{5 t-5 a-\tan (5 t-5 a)}{(t-a)^{3}}$, kita dapat menggunakan substitusi $u = t-a$. Ketika $t \to a$, maka $u \to 0$. Persamaan menjadi $\lim_{u \to 0} \frac{5(u+a)-5a-\tan(5(u+a)-5a)}{u^3} = \lim_{u \to 0} \frac{5u+5a-5a-\tan(5u)}{u^3} = \lim_{u \to 0} \frac{5u-\tan(5u)}{u^3}$.

Kita bisa menggunakan deret Taylor untuk tan(x) di sekitar x=0, yaitu $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$.
Maka, $\tan(5u) = 5u + \frac{(5u)^3}{3} + O((5u)^5) = 5u + \frac{125u^3}{3} + O(u^5)$.
Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{u \to 0} \frac{5u - (5u + \frac{125u^3}{3} + O(u^5))}{u^3} = \lim_{u \to 0} \frac{-\frac{125u^3}{3} - O(u^5)}{u^3} = \lim_{u \to 0} (-\frac{125}{3} - O(u^2)) = -\frac{125}{3}$.

Alternatif lain adalah menggunakan aturan L'Hopital sebanyak tiga kali.
Turunan pertama: $\lim_{u \to 0} \frac{5 - 5\sec^2(5u)}{3u^2}$
Turunan kedua: $\lim_{u \to 0} \frac{-5(2\sec(5u) \cdot \sec(5u)\tan(5u) \cdot 5)}{6u} = \lim_{u \to 0} \frac{-50\sec^2(5u)\tan(5u)}{6u}$
Turunan ketiga: Gunakan $\tan(x) \approx x$ untuk $x \to 0$. $\lim_{u \to 0} \frac{-50\sec^2(5u)(5u)}{6u} = \lim_{u \to 0} \frac{-250u}{6u} = -\frac{250}{6} = -\frac{125}{3}$.