Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12mathKalkulus

Nilai dari lim _(x -> 2) ((x^(2)-4) tan (2 x-4))/(sin

Pertanyaan

Hitunglah nilai dari lim (x^2 - 4) tan(2x - 4) / sin^2(x - 2) saat x mendekati 2.

Solusi

Verified

Nilai limitnya adalah 8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan manipulasi aljabar dan identitas trigonometri. Limit yang diberikan adalah: lim _(x -> 2) ((x^(2)-4) tan (2 x-4))/(sin ^(2)(x-2)) Kita bisa memfaktorkan (x² - 4) menjadi (x - 2)(x + 2). Jadi, ekspresinya menjadi: lim _(x -> 2) ((x-2)(x+2) tan (2 x-4))/(sin ^(2)(x-2)) Kita tahu bahwa tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). Maka, tan(2x - 4) = sin(2x - 4)/cos(2x - 4). Ekspresinya menjadi: lim _(x -> 2) ((x-2)(x+2) sin (2 x-4))/((cos (2 x-4)) (sin ^(2)(x-2))) Perhatikan bagian `sin(2x - 4)`. Kita bisa mengeluarkan faktor 2: sin(2(x - 2)). Kita juga tahu identitas limit dasar: lim _(θ -> 0) sin(θ)/θ = 1. Untuk menggunakan identitas ini, kita perlu menyesuaikan penyebutnya. Mari kita susun ulang ekspresinya: lim _(x -> 2) [(x-2) * (x+2) * sin(2(x-2)) / (cos(2(x-2)) * sin²(x-2))] Kita bisa memisahkan limit menjadi beberapa bagian: = lim _(x -> 2) (x+2) * lim _(x -> 2) [1/cos(2(x-2))] * lim _(x -> 2) [(x-2) sin(2(x-2)) / sin²(x-2)] Mari kita fokus pada bagian terakhir: lim _(x -> 2) [(x-2) sin(2(x-2)) / (sin(x-2) * sin(x-2))] Kita bisa memanipulasi ini untuk menggunakan identitas limit sin(θ)/θ = 1. Kita perlu '2(x-2)' di pembilang dan penyebut untuk sin(2(x-2)), dan 'x-2' di pembilang dan penyebut untuk sin(x-2). lim _(x -> 2) [ (x-2) * (2(x-2))/(2(x-2)) * sin(2(x-2)) / ( (x-2)/(x-2) * sin(x-2) * sin(x-2)) ] = lim _(x -> 2) [ (x-2) * sin(2(x-2))/(2(x-2)) * 2 / ( sin(x-2)/(x-2) * sin(x-2) ) ] Ini menjadi rumit. Mari kita coba cara yang lebih sederhana dengan mengganti variabel. Misalkan y = x - 2. Maka saat x -> 2, y -> 0. Dan 2x - 4 = 2(x - 2) = 2y. Ekspresi menjadi: lim _(y -> 0) [ ((y+2)² - 4) tan (2y) ] / [ sin²(y) ] Wait, the substitution x²-4 = (x-2)(x+2) was correct. Let's redo from there. lim _(x -> 2) ((x-2)(x+2) tan (2 x-4))/(sin ^(2)(x-2)) = lim _(x -> 2) (x+2) * lim _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)] * lim _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)] Kita tahu lim _(θ -> 0) sin(θ)/θ = 1, sehingga lim _(θ -> 0) θ/sin(θ) = 1. Jadi, lim _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)] = 1. Sekarang, mari kita lihat lim _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)]: Kita bisa tulis tan(2x-4) = sin(2x-4)/cos(2x-4). = lim _(x -> 2) [sin (2 x-4) / (cos (2 x-4) sin (x-2))] Kita bisa gunakan sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ). Jadi sin(2x-4) = sin(2(x-2)) = 2sin(x-2)cos(x-2). Ekspresinya menjadi: = lim _(x -> 2) [2sin(x-2)cos(x-2) / (cos (2 x-4) sin (x-2))] Kita bisa membatalkan sin(x-2): = lim _(x -> 2) [2cos(x-2) / cos (2 x-4)] Sekarang substitusikan x = 2: = 2cos(2-2) / cos(2*2 - 4) = 2cos(0) / cos(0) = 2 * 1 / 1 = 2 Kembali ke ekspresi awal yang dipisah: = lim _(x -> 2) (x+2) * lim _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)] * lim _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)] Kita sudah hitung: lim _(x -> 2) (x+2) = 2 + 2 = 4 lim _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)] = 2 lim _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)] = 1 Jadi, hasil akhirnya adalah: 4 * 2 * 1 = 8. Jawaban yang benar adalah 8 (pilihan b).

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Fungsi Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...