Nilai dari lim _(x -> 2) ((x^(2)-4) tan (2 x-4))/(sin

Nilai limitnya adalah 8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan manipulasi aljabar dan identitas trigonometri.

Limit yang diberikan adalah:
lim  _(x -> 2) ((x^(2)-4) tan (2 x-4))/(sin ^(2)(x-2))

Kita bisa memfaktorkan (x² - 4) menjadi (x - 2)(x + 2).
Jadi, ekspresinya menjadi:
lim  _(x -> 2) ((x-2)(x+2) tan (2 x-4))/(sin ^(2)(x-2))

Kita tahu bahwa tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). Maka, tan(2x - 4) = sin(2x - 4)/cos(2x - 4).
Ekspresinya menjadi:
lim  _(x -> 2) ((x-2)(x+2) sin (2 x-4))/((cos (2 x-4)) (sin ^(2)(x-2)))

Perhatikan bagian `sin(2x - 4)`. Kita bisa mengeluarkan faktor 2: sin(2(x - 2)).
Kita juga tahu identitas limit dasar: lim  _(θ -> 0) sin(θ)/θ = 1.
Untuk menggunakan identitas ini, kita perlu menyesuaikan penyebutnya.

Mari kita susun ulang ekspresinya:
lim  _(x -> 2) [(x-2) * (x+2) * sin(2(x-2)) / (cos(2(x-2)) * sin²(x-2))]

Kita bisa memisahkan limit menjadi beberapa bagian:
= lim  _(x -> 2) (x+2) * lim  _(x -> 2) [1/cos(2(x-2))] * lim  _(x -> 2) [(x-2) sin(2(x-2)) / sin²(x-2)]

Mari kita fokus pada bagian terakhir:
lim  _(x -> 2) [(x-2) sin(2(x-2)) / (sin(x-2) * sin(x-2))]

Kita bisa memanipulasi ini untuk menggunakan identitas limit sin(θ)/θ = 1.
Kita perlu '2(x-2)' di pembilang dan penyebut untuk sin(2(x-2)), dan 'x-2' di pembilang dan penyebut untuk sin(x-2).

lim  _(x -> 2) [ (x-2) * (2(x-2))/(2(x-2)) * sin(2(x-2)) / ( (x-2)/(x-2) * sin(x-2) * sin(x-2)) ]

= lim  _(x -> 2) [ (x-2) * sin(2(x-2))/(2(x-2)) * 2 / ( sin(x-2)/(x-2) * sin(x-2) ) ]

Ini menjadi rumit. Mari kita coba cara yang lebih sederhana dengan mengganti variabel.
Misalkan y = x - 2. Maka saat x -> 2, y -> 0.
Dan 2x - 4 = 2(x - 2) = 2y.

Ekspresi menjadi:
lim  _(y -> 0) [ ((y+2)² - 4) tan (2y) ] / [ sin²(y) ]

Wait, the substitution x²-4 = (x-2)(x+2) was correct. Let's redo from there.

lim  _(x -> 2) ((x-2)(x+2) tan (2 x-4))/(sin ^(2)(x-2))

= lim  _(x -> 2) (x+2) * lim  _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)] * lim  _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)]

Kita tahu lim  _(θ -> 0) sin(θ)/θ = 1, sehingga lim  _(θ -> 0) θ/sin(θ) = 1.
Jadi, lim  _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)] = 1.

Sekarang, mari kita lihat lim  _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)]:
Kita bisa tulis tan(2x-4) = sin(2x-4)/cos(2x-4).
= lim  _(x -> 2) [sin (2 x-4) / (cos (2 x-4) sin (x-2))]

Kita bisa gunakan sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ). Jadi sin(2x-4) = sin(2(x-2)) = 2sin(x-2)cos(x-2).
Ekspresinya menjadi:
= lim  _(x -> 2) [2sin(x-2)cos(x-2) / (cos (2 x-4) sin (x-2))]

Kita bisa membatalkan sin(x-2):
= lim  _(x -> 2) [2cos(x-2) / cos (2 x-4)]

Sekarang substitusikan x = 2:
= 2cos(2-2) / cos(2*2 - 4)
= 2cos(0) / cos(0)
= 2 * 1 / 1
= 2

Kembali ke ekspresi awal yang dipisah:
= lim  _(x -> 2) (x+2) * lim  _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)] * lim  _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)]

Kita sudah hitung:
lim  _(x -> 2) (x+2) = 2 + 2 = 4
lim  _(x -> 2) [tan (2 x-4) / sin (x-2)] = 2
lim  _(x -> 2) [(x-2) / sin (x-2)] = 1

Jadi, hasil akhirnya adalah: 4 * 2 * 1 = 8.

Jawaban yang benar adalah 8 (pilihan b).