Nilai dari lim x->3 (xtan(2x-6)/sin(x-3)) adalah

6

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x\to3} \frac{x\tan(2x-6)}{\sin(x-3)}$, kita dapat menggunakan sifat limit trigonometri. Pertama, kita substitusi $x=3$ ke dalam fungsi, hasilnya adalah $\frac{3\tan(0)}{\sin(0)} = \frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. 
Kita bisa memisahkan konstanta dan menggunakan sifat $\lim_{u\to0} \frac{\tan(au)}{bu} = a/b$ dan $\lim_{u\to0} \frac{\sin(cu)}{du} = c/d$. 
Limitnya menjadi $\lim_{x\to3} x \cdot \frac{\tan(2(x-3))}{\sin(x-3)}$. 
Kita tahu bahwa $\tan(\alpha) = \sin(\alpha)/\cos(\alpha)$. Jadi, $\tan(2x-6) = \tan(2(x-3))$. 
Limitnya menjadi $\lim_{x\to3} x \cdot \frac{\sin(2(x-3))}{\cos(2(x-3))\sin(x-3)}$. 
Kita bisa memisahkan limitnya menjadi $\lim_{x\to3} x \cdot \lim_{x\to3} \frac{1}{\cos(2(x-3))} \cdot \lim_{x\to3} \frac{\sin(2(x-3))}{\sin(x-3)}$. 
Untuk $\lim_{x\to3} x = 3$. 
Untuk $\lim_{x\to3} \frac{1}{\cos(2(x-3))} = \frac{1}{\cos(0)} = 1$. 
Untuk $\lim_{x\to3} \frac{\sin(2(x-3))}{\sin(x-3)}$, kita bisa memisalkan $u = x-3$. Ketika $x 	o 3$, maka $u 	o 0$. Limitnya menjadi $\lim_{u\to0} \frac{\sin(2u)}{\sin(u)}$. 
Kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan $2u$ dan $u$ agar sesuai dengan sifat limit $\lim_{u\to0} \frac{\sin(au)}{au} = 1$. 
$\lim_{u\to0} \frac{\sin(2u)}{2u} \cdot \frac{2u}{\sin(u)} = 1 \cdot \lim_{u\to0} \frac{2u}{\sin(u)}$. 
$\lim_{u\to0} 2 \cdot \frac{u}{\sin(u)} = 2 \cdot 1 = 2$. 
Jadi, hasil akhirnya adalah $3 \cdot 1 \cdot 2 = 6$.