Nilai dari lim x menuju tak hingga (4

Nilai limitnya adalah -11/2 atau -5.5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu mengevaluasi perilaku fungsi ketika x mendekati tak hingga. Fungsi yang diberikan adalah:
lim x→∞ (4√(x² - 2x + 1) - √(16x² + 12x))

Pertama, kita sederhanakan bagian dalam akar kuadrat:
√(x² - 2x + 1) adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x - 1)².
Maka, 4√(x² - 2x + 1) = 4√( (x - 1)² ) = 4 |x - 1|.
Karena x menuju tak hingga (x positif besar), maka |x - 1| = x - 1.
Jadi, 4√(x² - 2x + 1) = 4(x - 1) = 4x - 4.

Sekarang, kita evaluasi suku kedua: √(16x² + 12x).
Untuk x yang sangat besar, suku x² mendominasi.
√(16x² + 12x) ≈ √(16x²) = 4|x|.
Karena x menuju tak hingga, |x| = x.
Maka, √(16x² + 12x) ≈ 4x.

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x→∞ ( (4x - 4) - √(16x² + 12x) )

Untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat, kita gunakan metode mengalikan dengan konjugat:
lim x→∞ (4(x - 1) - √(16x² + 12x))

Kalikan dengan konjugatnya: (4(x - 1) + √(16x² + 12x)) / (4(x - 1) + √(16x² + 12x))

= lim x→∞ [ (4(x - 1))² - (√(16x² + 12x))² ] / [ 4(x - 1) + √(16x² + 12x) ]
= lim x→∞ [ (16(x² - 2x + 1)) - (16x² + 12x) ] / [ 4x - 4 + √(16x² + 12x) ]
= lim x→∞ [ 16x² - 32x + 16 - 16x² - 12x ] / [ 4x - 4 + √(16x² (1 + 12x/16x²)) ]
= lim x→∞ [ -44x + 16 ] / [ 4x - 4 + √(16x² (1 + 3/4x)) ]
= lim x→∞ [ -44x + 16 ] / [ 4x - 4 + 4|x|√(1 + 3/4x) ]
Karena x → ∞, |x| = x:
= lim x→∞ [ -44x + 16 ] / [ 4x - 4 + 4x√(1 + 3/4x) ]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= lim x→∞ [ -44 + 16/x ] / [ 4 - 4/x + 4√(1 + 3/4x) ]

Ketika x → ∞, 16/x → 0, 4/x → 0, dan 3/4x → 0.
= [ -44 + 0 ] / [ 4 - 0 + 4√(1 + 0) ]
= -44 / [ 4 + 4√1 ]
= -44 / [ 4 + 4 ]
= -44 / 8
= -11 / 2

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -11/2 atau -5.5.