Nilai dari lim x->pi/4 (x-pi/4 tan(x+pi/4)=..

Nilai limit adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = π/4, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan adalah: lim x->π/4 (x - π/4) / tan(x + π/4)

Misalkan f(x) = x - π/4 dan g(x) = tan(x + π/4).

Turunan dari f(x) adalah f'(x) = 1.
Turunan dari g(x) adalah g'(x) = sec^2(x + π/4).

Menggunakan aturan L'Hopital:
lim x->π/4 f'(x) / g'(x) = lim x->π/4 1 / sec^2(x + π/4)

Substitusikan x = π/4:
= 1 / sec^2(π/4 + π/4)
= 1 / sec^2(π/2)

Nilai sec(π/2) tidak terdefinisi (mendekati tak hingga). Oleh karena itu, kita perlu memeriksa kembali soal atau metode.

Mari kita coba substitusi u = x - π/4. Maka x = u + π/4. Ketika x -> π/4, maka u -> 0.
Soal menjadi:
lim u->0 u / tan(u + π/4 + π/4)
= lim u->0 u / tan(u + π/2)

Kita tahu bahwa tan(θ + π/2) = -cot(θ).
Jadi, tan(u + π/2) = -cot(u).

Limit menjadi:
lim u->0 u / (-cot(u))
= lim u->0 -u / cot(u)
= lim u->0 -u / (cos(u) / sin(u))
= lim u->0 -u * sin(u) / cos(u)

Kita bisa menulisnya sebagai:
lim u->0 (-u/sin(u)) * sin(u)/cos(u)
= lim u->0 (-u/sin(u)) * tan(u)

Kita tahu bahwa lim u->0 sin(u)/u = 1, sehingga lim u->0 u/sin(u) = 1.
Dan lim u->0 tan(u) = 0.

Jadi, limitnya adalah -1 * 0 = 0.

Mari kita coba lagi dengan aturan L'Hopital pada bentuk yang lebih sederhana.

lim x->π/4 (x - π/4) / tan(x + π/4)

Substitusi x = π/4 memberikan 0/tan(π/2), yang mana tan(π/2) tidak terdefinisi. Ini menunjukkan ada kesalahan dalam asumsi bentuk tak tentu 0/0. 

Mari kita periksa kembali tan(x + π/4) saat x mendekati π/4. 
Ketika x = π/4, x + π/4 = π/2. tan(π/2) mendekati tak hingga (∞).

Jadi, limitnya adalah lim x->π/4 (x - π/4) / tan(x + π/4).
Pembilang mendekati 0.
Penyebut mendekati ∞.
Bentuknya adalah 0 / ∞, yang nilainya adalah 0.

Jadi, nilai dari lim x->pi/4 (x-pi/4) / tan(x+pi/4) adalah 0.