Nilai dari limit x->0 (cosx-cos5x)/(xtan2x)=...

Nilai limitnya adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x->0 (cos x - cos 5x) / (x tan 2x), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang (cos x - cos 5x) adalah -sin x - (-5 sin 5x) = -sin x + 5 sin 5x.
Turunan penyebut (x tan 2x) adalah menggunakan aturan perkalian: (1 * tan 2x) + (x * 2 sec^2 2x) = tan 2x + 2x sec^2 2x.

Jadi, limitnya menjadi: lim x->0 (-sin x + 5 sin 5x) / (tan 2x + 2x sec^2 2x).

Langkah 2: Substitusikan kembali x = 0 ke dalam ekspresi yang telah diturunkan.
Pembilang: -sin(0) + 5 sin(5*0) = -0 + 5*0 = 0.
Penyebut: tan(2*0) + 2*0 * sec^2(2*0) = tan(0) + 0 * sec^2(0) = 0 + 0 * 1 = 0.

Karena masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita terapkan aturan L'Hopital lagi.

Langkah 3: Terapkan aturan L'Hopital untuk kedua kalinya.
Turunan pembilang (-sin x + 5 sin 5x) adalah -cos x + 5 * (5 cos 5x) = -cos x + 25 cos 5x.
Turunan penyebut (tan 2x + 2x sec^2 2x) adalah:
Turunan tan 2x adalah 2 sec^2 2x.
Turunan 2x sec^2 2x menggunakan aturan perkalian: (2 sec^2 2x) + (2x * 2 sec 2x * (sec 2x tan 2x) * 2) = 2 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x.
Jadi, turunan penyebut adalah 2 sec^2 2x + 2 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x = 4 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x.

Limitnya menjadi: lim x->0 (-cos x + 25 cos 5x) / (4 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x).

Langkah 4: Substitusikan kembali x = 0.
Pembilang: -cos(0) + 25 cos(5*0) = -1 + 25*1 = 24.
Penyebut: 4 sec^2(2*0) + 8*0 * sec^2(2*0) tan(2*0) = 4 sec^2(0) + 0 = 4 * (1)^2 = 4.

Jadi, nilai limitnya adalah 24 / 4 = 6.