Nilai dari limit x -> 0 (sin 3x . tan 5x)/(1-cos 5x)

6/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan. Namun, kita bisa mencoba menyederhanakannya terlebih dahulu.

Limit x -> 0 (sin 3x . tan 5x) / (1 - cos 5x)

Kita tahu bahwa tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) dan 1 - cos(2θ) = 2 sin²(θ). Jadi, 1 - cos(5x) tidak bisa langsung disederhanakan seperti itu. Namun, kita bisa menggunakan pendekatan limit standar:
lim (θ->0) sin(θ)/θ = 1
lim (θ->0) tan(θ)/θ = 1

Kita bisa memanipulasi ekspresi tersebut:
(sin 3x . tan 5x) / (1 - cos 5x)

Gunakan identitas 1 - cos(θ) = 2 sin²(θ/2). Maka, 1 - cos(5x) = 2 sin²(5x/2).

Ekspresi menjadi: (sin 3x . tan 5x) / (2 sin²(5x/2))

Sekarang kita manipulasi agar sesuai dengan bentuk limit standar:
= [ (sin 3x) / (3x) * 3x * (tan 5x) / (5x) * 5x ] / [ 2 * (sin(5x/2) / (5x/2))² * (5x/2)² ]
= [ (sin 3x / 3x) * (tan 5x / 5x) * (3x * 5x) ] / [ 2 * (sin(5x/2) / (5x/2))² * (25x²/4) ]

Saat x -> 0:
lim (sin 3x / 3x) = 1
lim (tan 5x / 5x) = 1
lim (sin(5x/2) / (5x/2)) = 1

Jadi, limitnya menjadi:
= [ 1 * 1 * (15x²) ] / [ 2 * (1)² * (25x²/4) ]
= (15x²) / (50x²/4)
= (15x²) * (4 / 50x²)
= 60x² / 50x²
= 60/50
= 6/5

Alternatif menggunakan L'Hopital's Rule karena bentuknya 0/0:
Turunan pembilang: d/dx (sin 3x . tan 5x) = (3 cos 3x)(tan 5x) + (sin 3x)(5 sec² 5x)
Turunan penyebut: d/dx (1 - cos 5x) = -(-5 sin 5x) = 5 sin 5x

Saat x -> 0:
Pembilang -> (3 cos 0)(tan 0) + (sin 0)(5 sec² 0) = (3 * 1)(0) + (0)(5 * 1²) = 0
Penyebut -> 5 sin 0 = 0

Karena masih 0/0, kita gunakan L'Hopital lagi:
Turunan pembilang kedua: d/dx [ (3 cos 3x)(tan 5x) + (sin 3x)(5 sec² 5x) ]
= [(-9 sin 3x)(tan 5x) + (3 cos 3x)(5 sec² 5x)] + [(3 cos 3x)(5 sec² 5x) + (sin 3x)(-5 sec² 5x * tan 5x * 5)]
= -9 sin 3x tan 5x + 15 cos 3x sec² 5x + 15 cos 3x sec² 5x - 25 sin 3x sec² 5x tan 5x
= -9 sin 3x tan 5x + 30 cos 3x sec² 5x - 25 sin 3x sec² 5x tan 5x

Turunan penyebut kedua: d/dx (5 sin 5x) = 25 cos 5x

Saat x -> 0:
Pembilang kedua -> -9(0)(0) + 30(1)(1)² - 25(0)(1)²(0) = 0 + 30 - 0 = 30
Penyebut kedua -> 25 cos 0 = 25 * 1 = 25

Limit = 30/25 = 6/5.

Jadi, nilai dari limit x -> 0 (sin 3x . tan 5x)/(1-cos 5x) adalah 6/5.