Nilai dari limit x mendekati tak hingga (x-x cos (2/x))

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan sifat-sifat limit. Soalnya adalah mencari nilai dari limit x mendekati tak hingga (x - x cos(2/x)).

Langkah 1: Faktorkan x dari kedua suku.
Limit = lim (x -> ~) x(1 - cos(2/x))

Langkah 2: Lakukan substitusi. Misalkan y = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga (~), maka y mendekati 0.
Limit = lim (y -> 0) (1/y)(1 - cos(2y))

Langkah 3: Susun ulang ekspresi.
Limit = lim (y -> 0) (1 - cos(2y)) / y

Langkah 4: Kita tahu bahwa lim (y -> 0) sin(y)/y = 1 dan lim (y -> 0) (1 - cos(y))/y = 0. Namun, bentuk kita adalah (1 - cos(2y))/y.

Kita bisa gunakan identitas trigonometri 1 - cos(2A) = 2 sin^2(A). Dalam kasus ini, A = y.
Limit = lim (y -> 0) (2 sin^2(y)) / y

Langkah 5: Susun ulang lagi untuk mendapatkan bentuk yang diketahui.
Limit = lim (y -> 0) 2 * (sin(y)/y) * sin(y)

Langkah 6: Pisahkan limitnya.
Limit = 2 * [lim (y -> 0) sin(y)/y] * [lim (y -> 0) sin(y)]

Kita tahu bahwa lim (y -> 0) sin(y)/y = 1 dan lim (y -> 0) sin(y) = sin(0) = 0.

Limit = 2 * 1 * 0 = 0.

Jadi, nilai dari limit x mendekati tak hingga (x - x cos(2/x)) adalah 0.