Nilai dari limit x->y (tan x-tan y)/((1-x/y)(1+tan x.tan

-y

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari fungsi yang diberikan saat x mendekati y, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan. Fungsi yang diberikan adalah:
lim (x->y) [ (tan x - tan y) / ((1 - x/y)(1 + tan x * tan y)) ]

Kita tahu identitas trigonometri untuk tangen:
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)

Mari kita susun ulang penyebutnya:
1 - x/y = (y - x) / y

Jadi, ekspresi menjadi:
lim (x->y) [ (tan x - tan y) / (((y - x) / y) * (1 + tan x * tan y)) ]
lim (x->y) [ y * (tan x - tan y) / ((y - x) * (1 + tan x * tan y)) ]
lim (x->y) [ -y * (tan y - tan x) / ((y - x) * (1 + tan x * tan y)) ]

Perhatikan bahwa (tan y - tan x) / (y - x) mendekati turunan dari tan(x) pada x=y, yaitu sec^2(y).

lim (x->y) [ -y * (tan y - tan x) / (y - x) * 1 / (1 + tan x * tan y) ]

Sekarang, kita evaluasi limitnya:
Saat x mendekati y, (tan y - tan x) / (y - x) mendekati turunan dari tan(x) yaitu sec^2(x) dievaluasi pada x=y, yang adalah sec^2(y).

Jadi, kita punya:
-y * sec^2(y) * [ 1 / (1 + tan y * tan y) ]
= -y * sec^2(y) / (1 + tan^2(y))

Kita tahu identitas trigonometri: 1 + tan^2(y) = sec^2(y).

Jadi, ekspresi menjadi:
= -y * sec^2(y) / sec^2(y)
= -y

Oleh karena itu, nilai dari limit tersebut adalah -y.