Nilai dari sigma k=1 40 (2k-42)/(2k-41 adalah ...

Nilai sigma adalah 40

Pembahasan

Untuk mengevaluasi sigma k=1 sampai 40 dari (2k-42)/(2k-41), kita perlu memahami sifat-sifat notasi sigma dan melakukan perhitungan.

Sigma dari (2k-42)/(2k-41) untuk k=1 sampai 40.
Mari kita jabarkan beberapa suku pertama:
Untuk k=1: (2*1 - 42) / (2*1 - 41) = (2 - 42) / (2 - 41) = -40 / -39 = 40/39
Untuk k=2: (2*2 - 42) / (2*2 - 41) = (4 - 42) / (4 - 41) = -38 / -37 = 38/37
Untuk k=3: (2*3 - 42) / (2*3 - 41) = (6 - 42) / (6 - 41) = -36 / -35 = 36/35
...
Untuk k=40: (2*40 - 42) / (2*40 - 41) = (80 - 42) / (80 - 41) = 38 / 39

Perhatikan bahwa bentuk (2k-42)/(2k-41) dapat ditulis sebagai (2k-41-1)/(2k-41) = 1 - 1/(2k-41).

Maka, sigma k=1 sampai 40 (1 - 1/(2k-41))
= sigma k=1 sampai 40 (1) - sigma k=1 sampai 40 (1/(2k-41))
= (1 * 40) - [1/(2*1-41) + 1/(2*2-41) + ... + 1/(2*40-41)]
= 40 - [1/(-39) + 1/(-37) + ... + 1/39]

Perhatikan bahwa suku-suku dalam kurung adalah:
-1/39, -1/37, ..., -1/3, -1/1, 1/1, 1/3, ..., 1/37, 1/39

Ketika dijumlahkan, suku-suku yang berlawanan tanda akan saling meniadakan (misalnya -1/39 + 1/39 = 0, -1/37 + 1/37 = 0, dan seterusnya).
Satu-satunya suku yang tersisa sebelum tanda negatif yang besar adalah -1/1 (dari k=21, karena 2*21-41 = 42-41 = 1) dan +1/1 (dari k=21 yang seharusnya berada di tengah, tapi kita lihat polanya.

Mari kita lihat lebih teliti:
Untuk k=20: (40-42)/(40-41) = -2/-1 = 2
Untuk k=21: (42-42)/(42-41) = 0/1 = 0
Untuk k=22: (44-42)/(44-41) = 2/3

Ini menunjukkan bahwa pembilangnya menjadi nol di k=21, dan kemudian menjadi positif.

Mari kita tulis ulang deretnya:
Sigma k=1 s.d 40 (2k-42)/(2k-41)
= (2(1)-42)/(2(1)-41) + (2(2)-42)/(2(2)-41) + ... + (2(20)-42)/(2(20)-41) + (2(21)-42)/(2(21)-41) + (2(22)-42)/(2(22)-41) + ... + (2(40)-42)/(2(40)-41)

= (-40/-39) + (-38/-37) + ... + (-2/-1) + (0/1) + (2/3) + ... + (38/39)

Kita bisa melihat pola simetri di sekitar k=20.5. Namun, suku k=21 adalah 0.

Mari kita gunakan pendekatan 1 - 1/(2k-41).
Sigma k=1 s.d 40 (1 - 1/(2k-41))
= Sigma 1 dari k=1 s.d 40  - Sigma 1/(2k-41) dari k=1 s.d 40
= 40 - [ 1/(-39) + 1/(-37) + ... + 1/(-1) + 1/1 + 1/3 + ... + 1/39 ]
= 40 - [ (-1/39 - 1/37 - ... - 1/1) + (1/1 + 1/3 + ... + 1/39) ]
Perhatikan bahwa -1/39 + 1/39 = 0, -1/37 + 1/37 = 0, ..., -1/1 + 1/1 = 0.
Semua suku saling menghilangkan.

Jadi, Sigma 1/(2k-41) dari k=1 s.d 40 = 0.

Maka, hasil sigma adalah 40 - 0 = 40.

Jawaban: Nilai dari sigma k=1 40 (2k-42)/(2k-41 adalah 40