Nilai integral 0 2 (3x+9) akar(x^2+6x) dx adalah ...

64

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu dari 0 hingga 2 dari (3x+9) akar(x^2+6x) dx, kita dapat menggunakan metode substitusi. Misalkan u = x^2 + 6x. Maka, turunan dari u terhadap x adalah du/dx = 2x + 6. Kita bisa menulis ulang du = (2x + 6) dx. Perhatikan bahwa ekspresi (3x+9) dalam integral dapat difaktorkan menjadi 3(x+3). Ini tidak sama persis dengan (2x+6). Namun, kita bisa memanipulasi integralnya. Integral awal adalah \int_{0}^{2} (3x+9) \sqrt{x^2+6x} dx. Kita bisa memisahkan konstanta 3 dari (3x+9): 3 \int_{0}^{2} (x+3) \sqrt{x^2+6x} dx. Sekarang, jika kita substitusi u = x^2 + 6x, maka du = (2x + 6) dx. Kita membutuhkan (x+3)dx agar sesuai dengan du. Kita bisa menulis (2x+6)dx sebagai 2(x+3)dx. Jadi, (x+3)dx = (1/2)du. Sekarang kita perlu mengubah batas integral. Ketika x = 0, u = 0^2 + 6(0) = 0. Ketika x = 2, u = 2^2 + 6(2) = 4 + 12 = 16. Maka, integralnya menjadi: 3 \int_{0}^{16} \sqrt{u} (1/2)du = (3/2) \int_{0}^{16} u^{1/2} du. Sekarang kita integralkan u^{1/2}: (3/2) * [ (u^{1/2 + 1}) / (1/2 + 1) ] dari 0 hingga 16 = (3/2) * [ (u^{3/2}) / (3/2) ] dari 0 hingga 16. Ini disederhanakan menjadi [u^{3/2}] dari 0 hingga 16. Sekarang evaluasi pada batas atas dan bawah: (16^{3/2}) - (0^{3/2}). 16^{3/2} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64. 0^{3/2} = 0. Jadi, hasilnya adalah 64 - 0 = 64.