Kelas 11Kelas 12mathMatematika
Nilai lim x->0 (2x tan 3x /(1-cos^2x))=
Pertanyaan
Nilai $\lim_{x\to 0} \frac{2x \tan 3x}{1-\cos^2x}$=
Solusi
Verified
6
Pembahasan
Untuk mencari nilai dari $\lim_{x\to 0} \frac{2x \tan 3x}{1-\cos^2x}$, kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit. Identitas Trigonometri yang relevan: 1. $1 - \cos^2x = \sin^2x$ 2. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ Substitusikan identitas pertama ke dalam penyebut: $\lim_{x\to 0} \frac{2x \tan 3x}{\sin^2x}$ Gunakan identitas kedua untuk $\tan 3x$: $\lim_{x\to 0} \frac{2x \cdot \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{\sin^2x}$ Tulis ulang ekspresi: $\lim_{x\to 0} \frac{2x \sin 3x}{\cos 3x \sin^2x}$ Kita tahu bahwa $\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$. Mari kita atur ulang ekspresi untuk menggunakan sifat ini: $\lim_{x\to 0} \left( \frac{2x}{\sin^2x} \cdot \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \right)$ Pisahkan menjadi bagian-bagian yang dapat kita evaluasi: $\lim_{x\to 0} \left( 2x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \right)$ Untuk menggunakan sifat $\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$, kita perlu faktor $3x$ di pembilang dan penyebut untuk $\sin 3x$, dan $x$ untuk $\sin x$. Mari kita kelompokkan ulang: $\lim_{x\to 0} \left( 2 \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin 3x}{1} \cdot \frac{1}{\cos 3x} \right)$ Mari kita ubah lagi untuk membuat penggunaan sifat limit lebih jelas: $\lim_{x\to 0} \left( 2 \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos 3x} \right)$ Kita tahu $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$, $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$, dan $\lim_{x\to 0} \cos 3x = \cos 0 = 1$. Namun, ekspresi kita menjadi: $\lim_{x\to 0} \frac{2x \sin 3x}{\cos 3x \sin^2x}$ Mari kita kalikan dan bagi dengan $3x$ dan $x$ secara terpisah: $\lim_{x\to 0} \left( 2x \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{1} \cdot \frac{1}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin^2x} \right)$ $\lim_{x\to 0} \left( 2 \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{1}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin x} \right)$ Kita bisa menulis $\frac{1}{\sin x}$ sebagai $\frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{x}$. $\lim_{x\to 0} \left( 2 \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{1}{\cos 3x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{x} \right)$ Ini menjadi: $2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (0) \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{0}$ yang masih bermasalah. Mari kita coba cara lain: $\lim_{x\to 0} \frac{2x \tan 3x}{1-\cos^2x} = \lim_{x\to 0} \frac{2x \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{\sin^2x}$ $= \lim_{x\to 0} \frac{2x \sin 3x}{\cos 3x \sin^2x}$ $= \lim_{x\to 0} \left( \frac{2x}{\sin x} \cdot \frac{\sin 3x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos 3x} \right)$ Kita bisa menulis $\frac{\sin 3x}{\sin x}$ sebagai $\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}$. $= \lim_{x\to 0} \left( 2 \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos 3x} \right)$ Sekarang terapkan limit: $2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos 3x}$ $= 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1}$ $= 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ Jadi, nilai dari $\lim_{x\to 0} \frac{2x \tan 3x}{1-\cos^2x}$ adalah 6.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Kalkulus
Section: Limit Fungsi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?