Nilai limit x -> 0 2xsin3x/(1-cos6x)=...

1/3

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{2x\sin(3x)}{1-\cos(6x)}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Kita tahu bahwa $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$. Jadi, $1 - \cos(6x) = 2\sin^2(3x)$.

Substitusikan identitas ini ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x\sin(3x)}{2\sin^2(3x)}$

Sederhanakan persamaan:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(3x)}$

Kita tahu bahwa $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$. Untuk menyesuaikan bentuk ini, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan 3:
$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{3\sin(3x)}$

Ini dapat ditulis ulang sebagai:
$\frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin(3x)}$

Karena $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1$, maka $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin(3x)} = 1$.

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$.

Alternatif lain menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x\sin(3x)}{1-\cos(6x)}$
Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(2x\sin(3x)) = 2\sin(3x) + 2x(3\cos(3x)) = 2\sin(3x) + 6x\cos(3x)$
Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}(1-\cos(6x)) = -(-\sin(6x) 	imes 6) = 6\sin(6x)$

Menggunakan aturan L'Hopital:
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(3x) + 6x\cos(3x)}{6\sin(6x)}$
Karena masih berbentuk 0/0, terapkan L'Hopital lagi:
Turunan pembilang: $2(3\cos(3x)) + 6\cos(3x) + 6x(-3\sin(3x)) = 6\cos(3x) + 6\cos(3x) - 18x\sin(3x) = 12\cos(3x) - 18x\sin(3x)$
Turunan penyebut: $6(6\cos(6x)) = 36\cos(6x)$

Sekarang substitusikan x=0:
$\frac{12\cos(0) - 18(0)\sin(0)}{36\cos(0)} = \frac{12(1) - 0}{36(1)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.