Sebuah prisma dimana alasnya berbentuk segitiga siku-siku

Luas alas prisma tersebut adalah 2 m$^2$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari luas alas prisma ketika luas permukaannya minimum. Diketahui volume prisma adalah $V = 4(2-\sqrt{2})$ m$^3$. Misalkan alas segitiga siku-siku sama kaki memiliki sisi siku-siku sepanjang $a$, maka sisi miringnya adalah $a\sqrt{2}$.

Luas alas prisma ($L_a$) adalah $\frac{1}{2}a^2$.

Keliling alas prisma ($K_a$) adalah $a + a + a\sqrt{2} = (2+\sqrt{2})a$.

Luas permukaan prisma ($L_p$) adalah $2L_a + K_a 	imes t$, di mana $t$ adalah tinggi prisma.

Volume prisma ($V$) adalah $L_a 	imes t = \frac{1}{2}a^2 	imes t$. Maka, $t = \frac{V}{L_a} = \frac{4(2-\sqrt{2})}{\frac{1}{2}a^2} = \frac{8(2-\sqrt{2})}{a^2}$.

Substitusikan $t$ ke dalam rumus luas permukaan:
$L_p = 2(\frac{1}{2}a^2) + (2+\sqrt{2})a \times \frac{8(2-\sqrt{2})}{a^2}$
$L_p = a^2 + \frac{8(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{a}$
$L_p = a^2 + \frac{8(4-2)}{a}$
$L_p = a^2 + \frac{16}{a}$

Untuk mencari luas permukaan minimum, kita turunkan $L_p$ terhadap $a$ dan samakan dengan nol:
$\frac{dL_p}{da} = 2a - \frac{16}{a^2}$
$2a - \frac{16}{a^2} = 0$
$2a = \frac{16}{a^2}$
$2a^3 = 16$
$a^3 = 8$
$a = 2$

Maka, luas alasnya adalah $L_a = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}(2^2) = \frac{1}{2}(4) = 2$ m$^2$.