Suku tengah sebuah barisan aritmetika adalah 23. Jika suku

Banyak suku barisan itu adalah 9.

Pembahasan

Misalkan barisan aritmetika tersebut adalah $a_1, a_2, ..., a_n$. Diketahui suku tengahnya adalah 23, suku terakhirnya 43, dan suku ketiganya 13.

Karena suku tengahnya adalah 23, maka suku tengah ini dapat dirumuskan sebagai $(a_1 + a_n) / 2$ jika jumlah suku $n$ ganjil, atau merupakan rata-rata dari dua suku tengah jika $n$ genap. Namun, dengan informasi suku pertama dan terakhir, kita dapat menggunakan informasi suku tengah secara umum.

Kita tahu bahwa $a_3 = 13$. Dalam barisan aritmetika, $a_n = a_1 + (n-1)b$, di mana $b$ adalah beda barisan.

Dari suku ketiga, kita punya: $a_3 = a_1 + (3-1)b = a_1 + 2b = 13$.
Dari suku terakhir, kita punya: $a_n = a_1 + (n-1)b = 43$.

Jika suku tengahnya adalah 23, dan kita tidak tahu apakah $n$ ganjil atau genap, kita bisa melihat hubungan antara suku-suku tersebut. Jika $n$ ganjil, suku tengah adalah $a_{(n+1)/2} = 23$. Jika $n$ genap, dua suku tengah adalah $a_{n/2}$ dan $a_{n/2+1}$, dengan rata-ratanya $(a_{n/2} + a_{n/2+1})/2 = 23$.

Namun, ada sifat penting dalam barisan aritmetika: jumlah suku pertama dan terakhir sama dengan jumlah suku-suku yang berjarak sama dari ujung. Jadi, $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = ...$.
Jika ada suku tengah tunggal, maka suku tengah tersebut adalah rata-rata dari suku pertama dan terakhir.
Dalam kasus ini, jika kita asumsikan suku tengah tunggal, maka $(a_1 + a_n) / 2 = 23$. Ini berarti $a_1 + 43 = 46$, sehingga $a_1 = 3$.

Sekarang kita punya $a_1 = 3$ dan $a_3 = 13$.
Menggunakan rumus $a_3 = a_1 + 2b$, kita dapatkan $13 = 3 + 2b$, sehingga $10 = 2b$, dan $b = 5$.

Sekarang kita dapat mencari banyak suku $n$ menggunakan rumus suku terakhir: $a_n = a_1 + (n-1)b$.
$43 = 3 + (n-1)5$
$40 = (n-1)5$
$8 = n-1$
$n = 9$.

Jadi, banyak suku barisan itu adalah 9.