Nilai lim x->1 (x^(2/3)-2x^(1/3)+1)/(x-1)^2 adalah....

1/9

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=1 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan bentuk tak tentu, maka limitnya sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x).

Fungsi kita adalah f(x) = x^(2/3) - 2x^(1/3) + 1 dan g(x) = (x-1)^2.

Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = (2/3)x^(-1/3) - 2*(1/3)x^(-2/3) = (2/3)x^(-1/3) - (2/3)x^(-2/3).
Turunan pertama dari g(x) adalah g'(x) = 2(x-1).

Karena substitusi x=1 pada f'(x)/g'(x) masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan kedua dari f(x) adalah f''(x) = (2/3)*(-1/3)x^(-4/3) - (2/3)*(-2/3)x^(-5/3) = (-2/9)x^(-4/3) + (4/9)x^(-5/3).
Turunan kedua dari g(x) adalah g''(x) = 2.

Sekarang kita substitusikan x=1 ke f''(x)/g''(x):
lim x->1 [((-2/9)x^(-4/3) + (4/9)x^(-5/3)) / 2]
= [((-2/9)(1)^(-4/3) + (4/9)(1)^(-5/3)) / 2]
= [(-2/9 + 4/9) / 2]
= [(2/9) / 2]
= 1/9.

Jadi, nilai lim x->1 (x^(2/3)-2x^(1/3)+1)/(x-1)^2 adalah 1/9.