Nilai lim _(x -> 2) ((x^(2)-4) tan (2 x-4))/(sin ^(2)(x-2))

Nilai limit adalah 8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=2, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. 
Limit = lim (x^2 - 4) tan(2x - 4) / sin^2(x - 2)
Dengan aturan L'Hopital, turunkan pembilang dan penyebut:
Turunan pembilang: 2x tan(2x - 4) + (x^2 - 4) sec^2(2x - 4) * 2
Turunan penyebut: 2 sin(x - 2) cos(x - 2) = sin(2x - 4)
Substitusikan x = 2 ke turunan pembilang:
2(2) tan(0) + (4 - 4) sec^2(0) * 2 = 4 * 0 + 0 = 0
Substitusikan x = 2 ke turunan penyebut:
sin(0) = 0
Karena masih 0/0, kita gunakan L'Hopital lagi.
Turunan pembilang: [2 tan(2x - 4) + 2x sec^2(2x - 4) * 2] + [2x sec^2(2x - 4) * 2 + (x^2 - 4) * 2 sec(2x - 4) * (sec(2x - 4) tan(2x - 4)) * 2] * 2
Turunan penyebut: cos(2x - 4) * 2
Substitusikan x = 2 ke turunan pembilang:
[2 tan(0) + 4 sec^2(0) * 2] + [4 sec^2(0) * 2 + 0] * 2 = [0 + 4*1*2] + [4*1*2]*2 = 8 + 16 = 24
Substitusikan x = 2 ke turunan penyebut:
cos(0) * 2 = 1 * 2 = 2
Nilai limit = 24 / 2 = 12. 

Alternatif lain menggunakan substitusi:
Misalkan y = x - 2, maka x = y + 2.
Ketika x -> 2, maka y -> 0.
Limit = lim (y+2)^2 - 4) tan(2(y+2) - 4)) / sin^2((y+2) - 2)
Limit = lim (y^2 + 4y + 4 - 4) tan(2y)) / sin^2(y)
Limit = lim (y^2 + 4y) tan(2y) / sin^2(y)
Limit = lim y(y + 4) * (tan(2y)/y) * (y/sin(y)) * (1/sin(y))
Kita tahu bahwa lim (tan(ay)/y) = a dan lim (y/sin(y)) = 1.
Limit = lim y(y + 4) * 2 * 1 * (1/sin(y))
Ini masih belum terpecahkan. Mari kita kembali ke bentuk awal:
Limit = lim (y^2 + 4y) tan(2y) / sin^2(y)
Limit = lim (y(y+4)) * (sin(2y)/cos(2y)) / sin^2(y)
Limit = lim y(y+4) * (2y/cos(2y)) / y^2
Limit = lim (y+4) * 2y^2 / (y^2 cos(2y))
Limit = lim (y+4) * 2 / cos(2y)
Substitusikan y = 0:
(0+4) * 2 / cos(0) = 4 * 2 / 1 = 8.