Nilai lim x->-3 (2x^2-18)/(2x^2-3x-9)=....

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Kita perlu menghitung nilai dari limit berikut: $\lim_{x\to-3} \frac{2x^2-18}{2x^2-3x-9}$. Pertama, kita coba substitusikan $x = -3$ ke dalam fungsi: Pembilang: $2(-3)^2 - 18 = 2(9) - 18 = 18 - 18 = 0$. Penyebut: $2(-3)^2 - 3(-3) - 9 = 2(9) + 9 - 9 = 18$. Karena hasil substitusi langsung tidak menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka nilai limitnya adalah hasil substitusi langsung. Namun, jika kita perhatikan penyebutnya, mari kita faktorkan: $2x^2 - 3x - 9$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $2 \times -9 = -18$ dan jika dijumlahkan menghasilkan -3. Bilangan tersebut adalah -6 dan 3. Maka, $2x^2 - 6x + 3x - 9 = 2x(x-3) + 3(x-3) = (2x+3)(x-3)$. Sekarang kita lihat kembali soal limitnya. Jika kita substitusikan $x = -3$ ke dalam pembilang yang difaktorkan: $2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x-3)(x+3)$. Jadi, limitnya menjadi: $\lim_{x\to-3} \frac{2(x-3)(x+3)}{(2x+3)(x-3)}$. Terjadi kesalahan dalam analisis awal. Mari kita periksa kembali penyebutnya ketika $x = -3$: $2(-3)^2 - 3(-3) - 9 = 18 + 9 - 9 = 18$. Pembilangnya adalah $2(-3)^2 - 18 = 18 - 18 = 0$. Jadi hasil substitusi langsung adalah $\frac{0}{18} = 0$. Mari kita faktorkan kedua ekspresi: Pembilang: $2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x-3)(x+3)$. Penyebut: $2x^2 - 3x - 9$. Kita mencari akar-akar dari $2x^2 - 3x - 9 = 0$. Menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{3 \pm 9}{4}$. Akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{3+9}{4} = \frac{12}{4} = 3$ dan $x_2 = \frac{3-9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$. Maka, faktorisasi penyebut adalah $2(x-3)(x - (-\frac{3}{2})) = 2(x-3)(x + \frac{3}{2}) = (x-3)(2x+3)$. Sekarang kita hitung limitnya kembali: $\lim_{x\to-3} \frac{2(x-3)(x+3)}{(x-3)(2x+3)}$. Jika $x \neq 3$, kita bisa membatalkan faktor $(x-3)$: $\lim_{x\to-3} \frac{2(x+3)}{2x+3}$. Sekarang substitusikan $x = -3$: Pembilang: $2(-3+3) = 2(0) = 0$. Penyebut: $2(-3)+3 = -6+3 = -3$. Maka, nilai limitnya adalah $\frac{0}{-3} = 0$. Ada kesalahan dalam penyalinan soal atau dalam pemahaman awal. Jika $x \to -3$, maka penyebutnya mendekati $2(-3)^2 - 3(-3) - 9 = 18 + 9 - 9 = 18$. Pembilangnya mendekati $2(-3)^2 - 18 = 18 - 18 = 0$. Hasilnya adalah $0/18 = 0$. Namun, jika yang dimaksud adalah $x 	o 3$ atau jika ada kesalahan pengetikan pada penyebut sehingga $x=-3$ menjadi akar dari penyebut, maka penyelesaiannya akan berbeda. Dengan asumsi soal asli benar dan $x 	o -3$: Nilai limitnya adalah 0.