Nilai lim x->pi/3 (tan(3x-pi)cos 2x)/(sin(3x-pi))= ...

-1/2

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mengevaluasi sebuah limit fungsi trigonometri. Kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: lim x→π/3 (tan(3x-π)cos(2x))/(sin(3x-π))

Misalkan y = 3x - π. Ketika x → π/3, maka y → 3(π/3) - π = π - π = 0. Jadi, y → 0.

Kita juga perlu mengekspresikan cos(2x) dalam bentuk y. Jika y = 3x - π, maka 3x = y + π, atau x = (y + π)/3.
Jadi, 2x = 2(y + π)/3 = (2y + 2π)/3.

Mengganti x dalam cos(2x) dengan ekspresi dalam y:
cos(2x) = cos((2y + 2π)/3)

Limitnya menjadi:
lim y→0 (tan(y)cos((2y + 2π)/3))/(sin(y))

Kita tahu bahwa tan(y) = sin(y)/cos(y). Jadi:
lim y→0 [(sin(y)/cos(y)) * cos((2y + 2π)/3)] / sin(y)

Kita bisa membatalkan sin(y) di pembilang dan penyebut:
lim y→0 [1/cos(y) * cos((2y + 2π)/3)]

Sekarang kita substitusikan y = 0:
1/cos(0) * cos((2*0 + 2π)/3)
1/1 * cos(2π/3)
1 * (-1/2)
= -1/2

Jadi, nilai limitnya adalah -1/2.