Nilai lim _(x -> (pi)/(4)) (cos x-sin x)/(2 cos ^(2)

sqrt(2)/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi langsung terlebih dahulu. Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah: lim (x -> pi/4) [ (cos x - sin x) / (2 cos^2 x - 1) ]

Jika kita substitusi x = pi/4:
cos(pi/4) = sqrt(2)/2
sin(pi/4) = sqrt(2)/2

Pembilang: cos(pi/4) - sin(pi/4) = sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2 = 0

Penyebut: 2 cos^2(pi/4) - 1 = 2 * (sqrt(2)/2)^2 - 1 = 2 * (2/4) - 1 = 2 * (1/2) - 1 = 1 - 1 = 0

Karena menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital. Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa kita dapat menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan pembilang (cos x - sin x) terhadap x adalah: -sin x - cos x
Turunan penyebut (2 cos^2 x - 1) terhadap x adalah: 2 * 2 cos x * (-sin x) = -4 cos x sin x

Sekarang, kita hitung limit dari hasil turunan tersebut:
lim (x -> pi/4) [ (-sin x - cos x) / (-4 cos x sin x) ]

Substitusi x = pi/4:
Pembilang: -sin(pi/4) - cos(pi/4) = -sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2 = -sqrt(2)
Penyebut: -4 cos(pi/4) sin(pi/4) = -4 * (sqrt(2)/2) * (sqrt(2)/2) = -4 * (2/4) = -4 * (1/2) = -2

Jadi, limitnya adalah: (-sqrt(2)) / (-2) = sqrt(2) / 2

Alternatif lain, kita bisa menggunakan identitas trigonometri di penyebut. Ingat bahwa cos(2x) = 2 cos^2 x - 1.
Jadi, penyebutnya adalah cos(2x).

Limit menjadi: lim (x -> pi/4) [ (cos x - sin x) / cos(2x) ]

Perhatikan bahwa cos x - sin x = sqrt(2) * ( (1/sqrt(2))cos x - (1/sqrt(2))sin x ) = sqrt(2) * (cos(pi/4)cos x - sin(pi/4)sin x) = sqrt(2) cos(x + pi/4).

Limit menjadi: lim (x -> pi/4) [ sqrt(2) cos(x + pi/4) / cos(2x) ]

Ini masih menghasilkan 0/0 jika disubstitusi.

Mari kita kembali ke penyebut: 2 cos^2 x - 1. Kita tahu bahwa cos(2x) = 2 cos^2 x - 1. Jadi, penyebutnya adalah cos(2x).

Limit: lim (x -> pi/4) [ (cos x - sin x) / cos(2x) ]

Kita bisa juga memanipulasi pembilang dengan mengalikannya dengan (cos x + sin x) / (cos x + sin x):

lim (x -> pi/4) [ (cos x - sin x)(cos x + sin x) / (cos(2x)(cos x + sin x)) ]
lim (x -> pi/4) [ (cos^2 x - sin^2 x) / (cos(2x)(cos x + sin x)) ]

Ingat bahwa cos^2 x - sin^2 x = cos(2x).

limit menjadi: lim (x -> pi/4) [ cos(2x) / (cos(2x)(cos x + sin x)) ]

Kita bisa membatalkan cos(2x) (karena x mendekati pi/4, cos(2x) tidak sama dengan 0).

limit menjadi: lim (x -> pi/4) [ 1 / (cos x + sin x) ]

Sekarang substitusi x = pi/4:
1 / (cos(pi/4) + sin(pi/4))
1 / (sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2)
1 / (2 * sqrt(2)/2)
1 / sqrt(2)

Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan dengan sqrt(2)/sqrt(2):
(1 * sqrt(2)) / (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) / 2.

Hasilnya sama dengan menggunakan aturan L'Hôpital.