Nilai lim x->tak hingga

$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} - \sqrt{2x^2 - 2x - 3})$, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan sekawan.

Bentuk limitnya adalah $\infty - \infty$, sehingga perlu dirasionalkan.
Kalikan dengan sekawan dari ekspresi tersebut:
$$ \left( \sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} - \sqrt{2x^2 - 2x - 3} \right) \times \frac{\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} + \sqrt{2x^2 - 2x - 3}}{\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} + \sqrt{2x^2 - 2x - 3}} $$ 

Ini akan menghasilkan:
$$ \frac{(2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1) - (2x^2 - 2x - 3)}{\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} + \sqrt{2x^2 - 2x - 3}} $$ 

Sederhanakan pembilangnya:
$$ \frac{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1 - 2x^2 + 2x + 3}{\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} + \sqrt{2x^2 - 2x - 3}} $$ 
$$ \frac{(2\sqrt{2} + 2)x + 2}{\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1} + \sqrt{2x^2 - 2x - 3}} $$ 

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan x (atau $\sqrt{x^2}$ karena x menuju tak hingga):
$$ \frac{\frac{(2\sqrt{2} + 2)x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2}x - 1}}{x} + \frac{\sqrt{2x^2 - 2x - 3}}{x}} $$ 
$$ \frac{(2\sqrt{2} + 2) + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{2\sqrt{2}x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} + \sqrt{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}} $$ 
$$ \frac{(2\sqrt{2} + 2) + \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{2\sqrt{2}}{x} - \frac{1}{x^2}} + \sqrt{2 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} $$ 

Ketika $x \to \infty$, suku-suku yang memiliki x di penyebut akan menuju nol:
$$ \frac{2\sqrt{2} + 2 + 0}{\sqrt{2 + 0 - 0} + \sqrt{2 - 0 - 0}} $$ 
$$ \frac{2\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} $$ 
$$ \frac{2\sqrt{2} + 2}{2\sqrt{2}} $$ 

Sederhanakan ekspresi ini:
$$ \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} + \frac{2}{2\sqrt{2}} $$ 
$$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} $$ 

Rasionalkan $\frac{1}{\sqrt{2}}$:
$$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$ 
$$ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.