Nilai limit x->0 (cos (4x) sin (3x))/(5x) = ...

3/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

**Metode 1: Manipulasi Aljabar**
Limit x->0 (cos (4x) sin (3x))/(5x)
Kita tahu bahwa limit x->0 (sin ax)/ax = 1.
Jadi, kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut:
(cos (4x) * sin (3x)) / (5x)
= cos (4x) * (sin (3x) / (3x)) * (3x / 5x)
= cos (4x) * (sin (3x) / (3x)) * (3/5)

Sekarang, kita ambil limitnya saat x->0:
Limit x->0 [cos (4x) * (sin (3x) / (3x)) * (3/5)]
Karena limit x->0 cos(4x) = cos(0) = 1
Dan limit x->0 (sin (3x) / (3x)) = 1

Maka, limitnya adalah: 1 * 1 * (3/5) = 3/5

**Metode 2: Aturan L'Hopital**
Karena jika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan bentuk 0/0 (cos(0)*sin(0))/(5*0) = (1*0)/0 = 0/0), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika limit suatu fungsi menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, maka kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan dari pembilang (cos (4x) sin (3x)) adalah:
Turunan (cos(4x)) * sin(3x) + cos(4x) * Turunan (sin(3x))
= (-4 sin(4x)) * sin(3x) + cos(4x) * (3 cos(3x))
= -4 sin(4x) sin(3x) + 3 cos(4x) cos(3x)

Turunan dari penyebut (5x) adalah:
5

Jadi, limitnya menjadi:
Limit x->0 [-4 sin(4x) sin(3x) + 3 cos(4x) cos(3x)] / 5

Sekarang substitusikan x=0:
[-4 sin(0) sin(0) + 3 cos(0) cos(0)] / 5
= [-4 * 0 * 0 + 3 * 1 * 1] / 5
= [0 + 3] / 5
= 3/5

Jadi, nilai limitnya adalah 3/5.