Nilai limit x->0 (sin^2(x)-cos x+1)/3x tan x= .........

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi langsung dan identitas trigonometri.

Limit yang diberikan adalah: lim (x->0) [ (sin^2(x) - cos(x) + 1) / (3x tan(x)) ]

Pertama, mari kita periksa nilai pembilang dan penyebut saat x mendekati 0:
Pembilang: sin^2(0) - cos(0) + 1 = 0^2 - 1 + 1 = 0
Penyebut: 3(0) tan(0) = 3(0)(0) = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau menyederhanakan ekspresi menggunakan identitas trigonometri.

Mari kita gunakan identitas trigonometri. Kita tahu bahwa sin^2(x) + cos^2(x) = 1, sehingga sin^2(x) = 1 - cos^2(x).
Substitusikan ini ke dalam pembilang:
sin^2(x) - cos(x) + 1 = (1 - cos^2(x)) - cos(x) + 1 = 2 - cos^2(x) - cos(x).
Ini tidak langsung menyederhanakan.

Mari kita coba identitas lain: 1 - cos(x) = 2 sin^2(x/2).
Namun, kita punya -cos(x) + 1. Kita bisa memfaktorkan -1:
-(cos(x) - 1) = -(- (1-cos(x))) = 1-cos(x) = 2 sin^2(x/2).

Jadi, pembilang menjadi sin^2(x) + (1 - cos(x)) = sin^2(x) + 2 sin^2(x/2).
Ini juga tidak terlihat menyederhanakan dengan mudah.

Mari kita kembali ke pembilang: sin^2(x) - cos(x) + 1. 
Kita bisa menggunakan identitas cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), jadi sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2. Ini juga tidak membantu.

Perhatikan lagi pembilang: sin^2(x) - cos(x) + 1.
Jika kita substitusi x=0, kita dapatkan 0 - 1 + 1 = 0.

Sekarang lihat penyebut: 3x tan(x).
Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(x)/x = 1 dan lim (x->0) tan(x)/x = 1.
Jadi, kita bisa menulis ulang penyebut:
3x tan(x) = 3x * (sin(x)/cos(x)) = 3 * (sin(x)/x) * x^2 / cos(x).

Mari kita coba pendekatan lain. Kita tahu sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Jadi pembilang = 1 - cos^2(x) - cos(x) + 1 = 2 - cos^2(x) - cos(x).
Ini tidak benar.

Kita tahu identitas:
1 - cos(x) = 2 sin^2(x/2)
sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
tan(x) = sin(x)/cos(x)

Mari kita gunakan:
sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2
cos(x) = 1 - 2sin^2(x/2)

Kembali ke pembilang: sin^2(x) - cos(x) + 1.
Kita bisa gunakan sin^2(x) + 1 = sin^2(x) + sin^2(x) + cos^2(x) = 2sin^2(x) + cos^2(x). Ini salah.

Mari kita gunakan:
sin^2(x) + 1 = 1 - cos^2(x) + 1 = 2 - cos^2(x). Ini juga salah.

Identitas yang relevan adalah sin^2(x) + cos^2(x) = 1.
Maka sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Pembilang: (1 - cos^2(x)) - cos(x) + 1 = 2 - cos^2(x) - cos(x). Ini masih tidak membantu.

Mari kita coba manipulasi lain pada pembilang: sin^2(x) - cos(x) + 1.
Kita bisa menulis ulang 1 sebagai cos^2(x) + sin^2(x).
Jadi, sin^2(x) - cos(x) + (sin^2(x) + cos^2(x)) = 2sin^2(x) - cos(x) + cos^2(x). Masih tidak membantu.

Mari kita lihat pembilang lagi: sin^2(x) - cos(x) + 1.
Kita tahu sin^2(x) = 1 - cos^2(x).
Jadi, pembilangnya menjadi: (1 - cos^2(x)) - cos(x) + 1 = 2 - cos^2(x) - cos(x).

Perhatikan bahwa jika kita substitusi cos(x) = u, kita punya 2 - u^2 - u. Ini dapat difaktorkan sebagai -(u^2 + u - 2) = -(u+2)(u-1) = (2-u)(1+u). Jadi, (2-cos(x))(1+cos(x)).
Ini TIDAK BENAR karena 1 - cos^2(x) - cos(x) + 1 = 2 - cos^2(x) - cos(x) bukan faktor dari ini.

Mari kita gunakan identitas:
1 - cos(x) = 2 sin^2(x/2).
Jadi pembilang = sin^2(x) + (1 - cos(x)) = sin^2(x) + 2 sin^2(x/2).

Sekarang penyebut: 3x tan(x) = 3x (sin(x)/cos(x)).

Limit = lim (x->0) [ (sin^2(x) + 2 sin^2(x/2)) / (3x sin(x)/cos(x)) ]
Limit = lim (x->0) [ cos(x) * (sin^2(x) + 2 sin^2(x/2)) / (3x sin(x)) ]

Kita tahu lim (x->0) sin(x)/x = 1 dan lim (x->0) sin(kx)/(kx) = 1.
Jadi, sin^2(x) / x = (sin(x)/x) * sin(x).
Dan sin^2(x/2) / x = sin^2(x/2) / (x/2 * 2) = (sin(x/2)/(x/2))^2 * (x/2) / x = 1 * 1/2 = 1/2.

Mari kita pisahkan limitnya:
Limit = lim (x->0) [ cos(x) / 3 ] * lim (x->0) [ sin^2(x) / (x sin(x)) ] + lim (x->0) [ cos(x) / 3 ] * lim (x->0) [ 2 sin^2(x/2) / (x sin(x)) ]

Bagian pertama:
lim (x->0) [ cos(x) / 3 ] * lim (x->0) [ sin(x) / (x) ] * lim (x->0) [ sin(x) / sin(x) ]  -> ini salah.

Mari kita susun ulang:
Limit = lim (x->0) [ cos(x) * (sin^2(x) + 2 sin^2(x/2)) / (3x sin(x)) ]

Kita tahu sin(x) ≈ x untuk x dekat 0.
Dan sin^2(x) ≈ x^2.
Dan sin^2(x/2) ≈ (x/2)^2 = x^2/4.

Jadi, pembilang kira-kira: x^2 + 2(x^2/4) = x^2 + x^2/2 = 3x^2/2.
Penyebut kira-kira: 3x * x = 3x^2.

Jadi, limitnya kira-kira: (3x^2/2) / (3x^2) = 1/2.

Mari kita buktikan dengan lebih formal:
Limit = lim (x->0) [ cos(x) * (sin^2(x) + 2 sin^2(x/2)) / (3x sin(x)) ]
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
Limit = lim (x->0) [ cos(x) * ( (sin^2(x)/x^2) + 2 (sin^2(x/2)/x^2) ) / (3 (x sin(x)/x^2)) ]
Limit = lim (x->0) [ cos(x) * ( (sin(x)/x)^2 + 2 (sin(x/2)/(x/2))^2 * (1/4) ) / (3 (sin(x)/x)) ]

Saat x -> 0:
cos(x) -> 1
sin(x)/x -> 1
sin(x/2)/(x/2) -> 1

Jadi, Limit = [ 1 * ( (1)^2 + 2 * (1)^2 * (1/4) ) ] / [ 3 * (1) ]
Limit = [ 1 * ( 1 + 2/4 ) ] / 3
Limit = [ 1 * ( 1 + 1/2 ) ] / 3
Limit = [ 1 * (3/2) ] / 3
Limit = (3/2) / 3
Limit = 3 / (2 * 3)
Limit = 1/2.

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.