Nilai limit x->0 (sin ax)/(sin bx) adalah ...

Nilai limitnya adalah a/b.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$, kita dapat menggunakan identitas limit $\lim_{x\to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1$ atau $\lim_{x\to 0} \frac{kx}{\sin kx} = 1$.

Cara 1: Menggunakan identitas limit secara langsung.
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin ax}{ax} \cdot ax}{\frac{\sin bx}{bx} \cdot bx}$
Kita tahu bahwa $\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ dan $\lim_{x\to 0} \frac{\sin bx}{bx} = 1$ (dengan asumsi $a \neq 0$ dan $b \neq 0$).
Jadi, limitnya menjadi: $\frac{1 \cdot ax}{1 \cdot bx} = \frac{ax}{bx} = \frac{a}{b}$.

Cara 2: Menggunakan aturan L'Hopital (jika $\sin ax$ dan $\sin bx$ keduanya mendekati 0 saat x mendekati 0, yang memang benar).
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit di sisi kanan ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = \sin ax$ dan $g(x) = \sin bx$. Turunannya adalah $f'(x) = a \cos ax$ dan $g'(x) = b \cos bx$.
Menerapkan aturan L'Hopital:
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x\to 0} \frac{a \cos ax}{b \cos bx}$
Sekarang kita substitusikan $x=0$:
$= \frac{a \cos (a \cdot 0)}{b \cos (b 
cdot 0)} = \frac{a \cos 0}{b \cos 0} = \frac{a \cdot 1}{b 
cdot 1} = \frac{a}{b}$.

Jadi, nilai limit $\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$ adalah $\frac{a}{b}$.