Nilai limit x -> 1 (x^2-1)/(akar(4x-3) - akar(2x-1)) =

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu mengevaluasi $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{\sqrt{4x-3} - \sqrt{2x-1}}$.

Jika kita substitusikan x = 1 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{1^2-1}{\sqrt{4(1)-3} - \sqrt{2(1)-1}} = \frac{0}{\sqrt{1} - \sqrt{1}} = \frac{0}{0}$.
Oleh karena itu, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan akar sekawan (conjugate).

Kalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari penyebut, yaitu $(\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1})$:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{\sqrt{4x-3} - \sqrt{2x-1}} \times \frac{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1}}{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1}} $$ 

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2-1)(\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1})}{(\sqrt{4x-3})^2 - (\sqrt{2x-1})^2} $$ 

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2-1)(\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1})}{(4x-3) - (2x-1)} $$ 

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2-1)(\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1})}{4x-3-2x+1} $$ 

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2-1)(\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1})}{2x-2} $$ 

Perhatikan bahwa $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ dan $2x-2 = 2(x-1)$. Kita bisa membatalkan faktor $(x-1)$:

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1})}{2(x-1)} $$ 

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x-1})}{2} $$ 

Sekarang, kita bisa substitusikan x = 1 ke dalam ekspresi yang tersisa:

$$ = \frac{(1+1)(\sqrt{4(1)-3} + \sqrt{2(1)-1})}{2} $$ 

$$ = \frac{(2)(\sqrt{1} + \sqrt{1})}{2} $$ 

$$ = \frac{(2)(1 + 1)}{2} $$ 

$$ = \frac{(2)(2)}{2} $$ 

$$ = \frac{4}{2} $$ 

$$ = 2 $$ 

Jadi, nilai limitnya adalah 2.