Nilai limit x mendekati 0 (1-cos x)/(x sin x)= ....

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x mendekati 0 dari (1 - cos x) / (x sin x), kita bisa menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, identitas trigonometri, atau aturan L'Hôpital.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa 1 - cos x = 2 sin^2(x/2).
Dan sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2).

Substitusikan identitas ini ke dalam ekspresi:
Limit (x→0) [2 sin^2(x/2)] / [x * 2 sin(x/2) cos(x/2)]

Sederhanakan ekspresi:
Limit (x→0) [sin(x/2)] / [x cos(x/2)]

Kita bisa memanipulasi agar sesuai dengan limit standar lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1.
Bagi pembilang dan penyebut dengan x/2:
Limit (x→0) [sin(x/2) / (x/2)] / [(x cos(x/2)) / (x/2)]
Limit (x→0) [sin(x/2) / (x/2)] / [2 cos(x/2)]

Sekarang, terapkan limitnya:
lim (x/2 → 0) [sin(x/2) / (x/2)] = 1
lim (x→0) cos(x/2) = cos(0) = 1

Jadi, limitnya adalah 1 / (2 * 1) = 1/2.

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (1 - cos(0) = 1 - 1 = 0, dan 0 * sin(0) = 0 * 0 = 0), kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital.
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim (x→c) f(x)/g(x) menghasilkan bentuk tak tentu, maka limitnya sama dengan lim (x→c) f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (1 - cos x) adalah sin x.
Turunan dari penyebut (x sin x) adalah (1 * sin x) + (x * cos x) = sin x + x cos x.

Jadi, kita perlu menghitung limit dari sin x / (sin x + x cos x) saat x mendekati 0.
Sekali lagi, substitusi x=0 memberikan 0 / (0 + 0*1) = 0/0, bentuk tak tentu.

Kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital lagi:
Turunan dari pembilang (sin x) adalah cos x.
Turunan dari penyebut (sin x + x cos x) adalah cos x + (1 * cos x + x * (-sin x)) = cos x + cos x - x sin x = 2 cos x - x sin x.

Sekarang, hitung limit dari cos x / (2 cos x - x sin x) saat x mendekati 0.
Substitusikan x=0:
cos(0) / (2 cos(0) - 0 * sin(0))
= 1 / (2 * 1 - 0)
= 1 / 2

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, nilai limit x mendekati 0 (1-cos x)/(x sin x) adalah 1/2.