Nilai limit x -> pi/4 cos 2x/(cos x-sin x)=..........

Nilai limit adalah √2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan substitusi x = π/4 ke dalam fungsi cos(2x) / (cos x - sin x).

Jika kita substitusi langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
cos(2 * π/4) = cos(π/2) = 0
cos(π/4) - sin(π/4) = (√2/2) - (√2/2) = 0

Karena bentuknya 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa cos(2x) = cos²x - sin²x = (cos x - sin x)(cos x + sin x).

Maka, limitnya menjadi:
lim (x→π/4) [ (cos x - sin x)(cos x + sin x) / (cos x - sin x) ]

Kita bisa mencoret (cos x - sin x) karena x mendekati π/4 tetapi tidak sama dengan π/4, sehingga (cos x - sin x) ≠ 0.

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x→π/4) [ cos x + sin x ]

Sekarang kita substitusi x = π/4:
cos(π/4) + sin(π/4) = (√2/2) + (√2/2) = 2√2/2 = √2.

Jadi, nilai limitnya adalah √2.