Nilai maksimum bentuk 3x+2y untuk nilai x dan y yang

Nilai maksimum adalah 22.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum bentuk 3x + 2y pada daerah yang diarsir, kita perlu menentukan titik-titik sudut dari daerah tersebut dan menguji nilai fungsi tujuan (3x + 2y) di setiap titik sudut.

Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis-garis:
1) 2x + y = 12
2) x + 2y = 18
Dan juga sumbu x (y=0) dan sumbu y (x=0).

Langkah 1: Tentukan titik potong garis-garis tersebut.
Titik potong antara 2x + y = 12 dan x + 2y = 18:
Dari persamaan (1), y = 12 - 2x.
Substitusikan ke persamaan (2):
x + 2(12 - 2x) = 18
x + 24 - 4x = 18
-3x = 18 - 24
-3x = -6
x = 2

Substitusikan x = 2 ke y = 12 - 2x:
y = 12 - 2(2)
y = 12 - 4
y = 8
Jadi, titik potong kedua garis adalah (2, 8).

Langkah 2: Tentukan titik-titik sudut daerah yang diarsir.
Titik potong dengan sumbu y (x=0) pada garis 2x + y = 12: 2(0) + y = 12 => y = 12. Titik (0, 12).
Titik potong dengan sumbu x (y=0) pada garis x + 2y = 18: x + 2(0) = 18 => x = 18. Titik (18, 0).
Titik potong dengan sumbu y (x=0) pada garis x + 2y = 18: 0 + 2y = 18 => y = 9. Titik (0, 9).
Titik potong dengan sumbu x (y=0) pada garis 2x + y = 12: 2x + 0 = 12 => x = 6. Titik (6, 0).

Karena daerah dibatasi oleh kedua garis dan sumbu koordinat, titik-titik sudutnya adalah:
- Titik potong sumbu y dan garis 2x+y=12: (0, 12) (perhatikan bahwa titik ini tidak memenuhi x+2y<=18, jadi bukan bagian dari daerah yang memenuhi kedua ketidaksamaan)
- Titik potong sumbu y dan garis x+2y=18: (0, 9)
- Titik potong kedua garis: (2, 8)
- Titik potong sumbu x dan garis 2x+y=12: (6, 0)

Kita perlu menguji titik-titik sudut yang valid pada daerah yang diarsir oleh kedua ketidaksamaan 2x+y<=12 dan x+2y<=18, serta x>=0 dan y>=0.
Titik-titik sudut yang memenuhi adalah: (0,0), (6,0), (2,8), (0,9).

Langkah 3: Uji nilai fungsi tujuan F(x, y) = 3x + 2y di setiap titik sudut.
Di (0, 0): F(0, 0) = 3(0) + 2(0) = 0
Di (6, 0): F(6, 0) = 3(6) + 2(0) = 18
Di (2, 8): F(2, 8) = 3(2) + 2(8) = 6 + 16 = 22
Di (0, 9): F(0, 9) = 3(0) + 2(9) = 18

Nilai maksimum bentuk 3x + 2y adalah 22.