Nilai maksimum dari 2x+y yang memenuhi x-y+3>=0;

4

Pembahasan

Soal ini merupakan soal program linear. Kita diminta untuk mencari nilai maksimum dari fungsi objektif $2x+y$ dengan batasan:
1. $x - y + 3 \ge 0 
2. $3x + 2y - 6 \le 0 
3. $x \ge 0 
4. $y \ge 0$

Langkah pertama adalah menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.

Dari pertidaksamaan 1: $x - y + 3 = 0$, jika $x=0$, $y=3$. Jika $y=0$, $x=-3$. Garis melalui (0, 3) dan (-3, 0).
Dari pertidaksamaan 2: $3x + 2y - 6 = 0$, jika $x=0$, $2y=6$, $y=3$. Jika $y=0$, $3x=6$, $x=2$. Garis melalui (0, 3) dan (2, 0).

Pertidaksamaan 3 dan 4 menyatakan bahwa kita berada di kuadran pertama (x positif, y positif).

Setelah menggambar kedua garis dan mempertimbangkan daerah penyelesaiannya, kita akan menemukan titik-titik sudut dari daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Titik-titik sudut yang mungkin adalah:
- Titik potong sumbu y dari kedua garis: (0, 3)
- Titik potong sumbu x dari garis kedua: (2, 0)
- Titik potong antara kedua garis:
  Dari $x - y + 3 = 0 \implies y = x + 3$. Substitusikan ke persamaan kedua:
  $3x + 2(x + 3) - 6 = 0$
  $3x + 2x + 6 - 6 = 0$
  $5x = 0 \implies x = 0$. Maka $y = 0 + 3 = 3$. Titik potongnya adalah (0, 3), yang sudah kita miliki.

Periksa kembali batasan:
Untuk (0,3):
1. $0 - 3 + 3 = 0 \ge 0$ (Benar)
2. $3(0) + 2(3) - 6 = 6 - 6 = 0 \le 0$ (Benar)
3. $0 \ge 0$ (Benar)
4. $3 \ge 0$ (Benar)

Untuk (2,0):
1. $2 - 0 + 3 = 5 \ge 0$ (Benar)
2. $3(2) + 2(0) - 6 = 6 - 6 = 0 \le 0$ (Benar)
3. $2 \ge 0$ (Benar)
4. $0 \ge 0$ (Benar)

Periksa titik lain jika ada. Sepertinya daerah penyelesaiannya adalah segmen garis dari (0,3) ke (2,0). Kita perlu menguji titik-titik sudut yang terbentuk.

Titik-titik sudut yang relevan adalah (0, 3) dan (2, 0). Perlu diperiksa apakah ada titik lain yang memenuhi.

Jika kita uji titik (1,1):
1. $1 - 1 + 3 = 3 \ge 0$ (Benar)
2. $3(1) + 2(1) - 6 = 3 + 2 - 6 = -1 \le 0$ (Benar)

Mari kita evaluasi fungsi objektif $f(x, y) = 2x + y$ pada titik-titik sudut:
- Di titik (0, 3): $f(0, 3) = 2(0) + 3 = 3$
- Di titik (2, 0): $f(2, 0) = 2(2) + 0 = 4$

Nilai maksimum adalah 4.

Jadi, nilai maksimum dari $2x+y$ yang memenuhi batasan tersebut adalah 4.