Nilai maksimum dari fungsi f(x)=2 cos 2x+4 sin x dengan

3

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum fungsi f(x) = 2 cos(2x) + 4 sin(x) pada interval 0 < x < pi, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol untuk menemukan titik kritis. f'(x) = -4 sin(2x) + 4 cos(x). Menggunakan identitas sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), maka f'(x) = -8 sin(x) cos(x) + 4 cos(x) = 4 cos(x) (1 - 2 sin(x)). Agar f'(x) = 0, maka cos(x) = 0 atau sin(x) = 1/2. Pada interval 0 < x < pi, cos(x) = 0 ketika x = pi/2, dan sin(x) = 1/2 ketika x = pi/6. Kita perlu mengevaluasi f(x) pada titik-titik kritis ini dan pada batas interval (meskipun batas tidak termasuk, kita bisa melihat kecenderungannya). f(pi/6) = 2 cos(pi/3) + 4 sin(pi/6) = 2(1/2) + 4(1/2) = 1 + 2 = 3. f(pi/2) = 2 cos(pi) + 4 sin(pi/2) = 2(-1) + 4(1) = -2 + 4 = 2. Jika kita mendekati x=0, f(x) mendekati 2 cos(0) + 4 sin(0) = 2. Jika kita mendekati x=pi, f(x) mendekati 2 cos(2pi) + 4 sin(pi) = 2. Jadi, nilai maksimumnya adalah 3.