Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y)=3 x+4 y pada

5

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y pada sistem pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) terlebih dahulu. Sistem pertidaksamaannya adalah:
1. 2x + y ≤ 2
2. x + 3y ≤ 3
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Kita akan mencari titik-titik potong dari garis-garis batas:

Garis 1: 2x + y = 2
   - Jika x = 0, maka y = 2. Titik (0, 2)
   - Jika y = 0, maka 2x = 2, x = 1. Titik (1, 0)

Garis 2: x + 3y = 3
   - Jika x = 0, maka 3y = 3, y = 1. Titik (0, 1)
   - Jika y = 0, maka x = 3. Titik (3, 0)

Titik potong antara Garis 1 dan Garis 2:
Dari Garis 1, y = 2 - 2x. Substitusikan ke Garis 2:
x + 3(2 - 2x) = 3
x + 6 - 6x = 3
-5x = -3
x = 3/5
Substitusikan x kembali ke y = 2 - 2x:
y = 2 - 2(3/5) = 2 - 6/5 = (10 - 6)/5 = 4/5
Titik potongnya adalah (3/5, 4/5).

Karena x ≥ 0 dan y ≥ 0, kita berada di kuadran pertama. DHP dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis 2x + y = 2 serta x + 3y = 3.
Titik-titik sudut DHP adalah:
1. Titik potong sumbu y dengan Garis 1 (2x+y=2) dan Garis 2 (x+3y=3), yaitu (0, 1).
2. Titik potong Garis 1 (2x+y=2) dan Garis 2 (x+3y=3), yaitu (3/5, 4/5).
3. Titik potong sumbu x dengan Garis 1 (2x+y=2), yaitu (1, 0).
(Perhatikan bahwa titik (0,2) dari garis 1 tidak termasuk DHP karena tidak memenuhi x+3y <= 3, dan titik (3,0) dari garis 2 tidak termasuk DHP karena tidak memenuhi 2x+y <= 2).

Sekarang substitusikan titik-titik sudut ke fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y:
- Di titik (0, 1): f(0, 1) = 3(0) + 4(1) = 4
- Di titik (3/5, 4/5): f(3/5, 4/5) = 3(3/5) + 4(4/5) = 9/5 + 16/5 = 25/5 = 5
- Di titik (1, 0): f(1, 0) = 3(1) + 4(0) = 3

Nilai maksimum dari fungsi objektif adalah 5.