Nilai maksimum fungsi f(x)=8-12x+9x^2-2x^3 untuk 0<=x<=3

Nilai maksimumnya adalah 8.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum fungsi f(x) = 8 - 12x + 9x^2 - 2x^3 pada interval 0 <= x <= 3, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut, mencari titik kritis, dan mengevaluasi fungsi pada titik kritis dan batas interval.

1. Cari turunan pertama f'(x):
f(x) = 8 - 12x + 9x^2 - 2x^3
f'(x) = d/dx (8 - 12x + 9x^2 - 2x^3)
f'(x) = -12 + 18x - 6x^2

2. Cari titik kritis dengan mengatur f'(x) = 0:
-6x^2 + 18x - 12 = 0
Bagi kedua sisi dengan -6:
x^2 - 3x + 2 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 1)(x - 2) = 0
Jadi, titik kritisnya adalah x = 1 dan x = 2.

3. Evaluasi fungsi f(x) pada titik kritis dan batas interval [0, 3]:
Titik-titik yang perlu dievaluasi adalah x = 0, x = 1, x = 2, dan x = 3.

- Untuk x = 0:
f(0) = 8 - 12(0) + 9(0)^2 - 2(0)^3 = 8 - 0 + 0 - 0 = 8

- Untuk x = 1:
f(1) = 8 - 12(1) + 9(1)^2 - 2(1)^3 = 8 - 12 + 9 - 2 = 3

- Untuk x = 2:
f(2) = 8 - 12(2) + 9(2)^2 - 2(2)^3 = 8 - 24 + 9(4) - 2(8) = 8 - 24 + 36 - 16 = 44 - 40 = 4

- Untuk x = 3:
f(3) = 8 - 12(3) + 9(3)^2 - 2(3)^3 = 8 - 36 + 9(9) - 2(27) = 8 - 36 + 81 - 54 = 89 - 90 = -1

4. Bandingkan nilai-nilai tersebut untuk menemukan nilai maksimum:
Nilai-nilai f(x) yang diperoleh adalah 8, 3, 4, dan -1.
Nilai maksimum dari nilai-nilai ini adalah 8.

Jadi, nilai maksimum fungsi f(x) = 8 - 12x + 9x^2 - 2x^3 untuk 0 <= x <= 3 adalah 8, yang terjadi pada x = 0.