Nilai maksimum untuk 20x+30y yang memenuhi sistem

90

Pembahasan

Soal ini adalah soal program linear yang meminta nilai maksimum dari suatu fungsi objektif dengan kendala pertidaksamaan.

Fungsi Objektif: Maksimalkan Z = 20x + 30y

Kendala:
1.  $x + y \le 4$
2.  $x + 3y \le 6$
3.  $x \ge 0$
4.  $y \ge 0$

Langkah-langkah penyelesaian:
1.  Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala.
    a.  Garis $x + y = 4$: Titik potong sumbu x (y=0) adalah (4,0). Titik potong sumbu y (x=0) adalah (0,4).
    b.  Garis $x + 3y = 6$: Titik potong sumbu x (y=0) adalah (6,0). Titik potong sumbu y (x=0) adalah (0,2).
    c.  Titik potong antara $x + y = 4$ dan $x + 3y = 6$:
        Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
        $(x + 3y) - (x + y) = 6 - 4$
        $2y = 2$
        $y = 1$
        Substitusikan y = 1 ke $x + y = 4$:
        $x + 1 = 4$
        $x = 3$
        Jadi, titik potongnya adalah (3,1).

2.  Titik-titik pojok yang memenuhi semua kendala ($x \ge 0, y \ge 0$) adalah:
    - Titik O: (0,0)
    - Titik A: (0,2) (dari $x + 3y = 6$ saat x=0)
    - Titik B: (3,1) (titik potong kedua garis)
    - Titik C: (4,0) (dari $x + y = 4$ saat y=0)

3.  Evaluasi fungsi objektif Z = 20x + 30y di setiap titik pojok:
    - Di O(0,0): Z = 20(0) + 30(0) = 0
    - Di A(0,2): Z = 20(0) + 30(2) = 60
    - Di B(3,1): Z = 20(3) + 30(1) = 60 + 30 = 90
    - Di C(4,0): Z = 20(4) + 30(0) = 80

4.  Bandingkan hasil evaluasi untuk menemukan nilai maksimum.
    Nilai maksimum adalah 90, yang terjadi pada titik (3,1).

Jadi, nilai maksimum untuk 20x + 30y yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah 90.