Nilai minimum dari -2x+4y+6 untuk X dan Y yang memenuhi 2x

6

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y) = -2x + 4y + 6, kita perlu mengevaluasi fungsi ini pada titik-titik sudut dari daerah yang memenuhi semua kendala linear:
1. 2x + y - 20 <= 0  => y <= -2x + 20
2. 2x - y + 10 >= 0 => y <= 2x + 10
3. x + y - 5 >= 0   => y >= -x + 5
4. x - 2y <= 0     => y >= 0.5x
5. x >= 0
6. y >= 0

Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis kendala untuk menemukan titik-titik sudut:
- Titik potong 1 & 3: y = -x + 5 dan y = -2x + 20 => -x + 5 = -2x + 20 => x = 15. Maka y = -15 + 5 = -10. (Tidak memenuhi y>=0)
- Titik potong 3 & 4: y = -x + 5 dan y = 0.5x => 0.5x = -x + 5 => 1.5x = 5 => x = 5 / 1.5 = 10/3. Maka y = 0.5 * (10/3) = 5/3. Titik: (10/3, 5/3).
- Titik potong 4 & 2: y = 0.5x dan y = 2x + 10 => 0.5x = 2x + 10 => -1.5x = 10 => x = -10/1.5 = -20/3. (Tidak memenuhi x>=0)
- Titik potong 2 & 5: y = 2x + 10 dan x = 0 => y = 10. Titik: (0, 10).
- Titik potong 1 & 5: y = -2x + 20 dan x = 0 => y = 20. Titik: (0, 20).
- Titik potong 3 & 5: y = -x + 5 dan x = 0 => y = 5. Titik: (0, 5).
- Titik potong 1 & 2: y = -2x + 20 dan y = 2x + 10 => -2x + 20 = 2x + 10 => 4x = 10 => x = 2.5. Maka y = 2(2.5) + 10 = 5 + 10 = 15. Titik: (2.5, 15).
- Titik potong 4 & 1: y = 0.5x dan y = -2x + 20 => 0.5x = -2x + 20 => 2.5x = 20 => x = 8. Maka y = 0.5 * 8 = 4. Titik: (8, 4).

Titik-titik sudut yang memenuhi semua kendala adalah:
(0, 5) dari perpotongan y = -x + 5 dan x = 0
(10/3, 5/3) dari perpotongan y = -x + 5 dan y = 0.5x
(8, 4) dari perpotongan y = 0.5x dan y = -2x + 20
(2.5, 15) dari perpotongan y = -2x + 20 dan y = 2x + 10. (Periksa kendala lain: 2.5-15+10 = -2.5 < 0, tidak memenuhi kendala 2x-y+10>=0. Jadi titik ini tidak valid)
(0, 10) dari perpotongan y = 2x + 10 dan x = 0. (Periksa kendala lain: 0+10-5 = 5 >=0, 0-2(10) = -20 <=0. Titik ini valid)

Titik-titik sudut yang valid adalah: (0, 5), (10/3, 5/3), (8, 4), (0, 10).

Sekarang evaluasi f(x,y) = -2x + 4y + 6 di titik-titik tersebut:
- f(0, 5) = -2(0) + 4(5) + 6 = 0 + 20 + 6 = 26
- f(10/3, 5/3) = -2(10/3) + 4(5/3) + 6 = -20/3 + 20/3 + 6 = 6
- f(8, 4) = -2(8) + 4(4) + 6 = -16 + 16 + 6 = 6
- f(0, 10) = -2(0) + 4(10) + 6 = 0 + 40 + 6 = 46

Nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 6.