Sebuah persegi panjang dengan panjang x dan lebar y

Panjang sama dengan lebar (x=y)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan optimasi luas persegi panjang menggunakan konsep turunan atau AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean).

**Diketahui:**
*   Panjang persegi panjang = x
*   Lebar persegi panjang = y
*   Hubungan: x + y = 2a

**Ditanya:** Kondisi agar luas (L) maksimum.

**Metode 1: Menggunakan Turunan**
1.  Luas persegi panjang L = x * y
2.  Dari hubungan x + y = 2a, kita bisa substitusikan y = 2a - x ke dalam rumus luas:
    L(x) = x * (2a - x)
    L(x) = 2ax - x^2
3.  Untuk mencari nilai maksimum, kita turunkan L terhadap x dan samakan dengan nol:
    dL/dx = d/dx (2ax - x^2)
    dL/dx = 2a - 2x
4.  Setarakan turunan dengan nol:
    2a - 2x = 0
    2a = 2x
    x = a
5.  Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita cek turunan keduanya:
    d^2L/dx^2 = d/dx (2a - 2x) = -2
    Karena turunan kedua negatif, maka L bernilai maksimum saat x = a.
6.  Jika x = a, maka y = 2a - x = 2a - a = a.

**Metode 2: Menggunakan Ketaksamaan AM-GM**
Ketaksamaan AM-GM menyatakan bahwa untuk bilangan non-negatif, rata-rata aritmatika lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometris:
(x + y) / 2 >= sqrt(x * y)
Kita tahu x + y = 2a, jadi:
(2a) / 2 >= sqrt(L)
a >= sqrt(L)
a^2 >= L
Luas maksimum (L) akan tercapai ketika kesamaan dalam ketaksamaan AM-GM berlaku, yaitu ketika x = y.
Karena x + y = 2a, maka jika x = y, kita dapatkan:
x + x = 2a
2x = 2a
x = a
Dan karena x = y, maka y = a.

**Kesimpulan:**
Luas persegi panjang akan maksimum ketika panjang (x) sama dengan lebarnya (y), yang berarti persegi panjang tersebut berbentuk bujur sangkar. Kondisi ini terjadi ketika x = a dan y = a.