Hitunglah nilai limit berikut. lim x->0 (3 sin x-sin

Nilai limitnya adalah 4.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

lim x→0 (3 sin x - sin 3x) / x³

Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang: d/dx (3 sin x - sin 3x) = 3 cos x - 3 cos 3x
Turunan penyebut: d/dx (x³) = 3x²

Maka limitnya menjadi:
lim x→0 (3 cos x - 3 cos 3x) / 3x²

Substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk tak tentu (3*1 - 3*1) / (3*0) = 0/0. Jadi, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang baru: d/dx (3 cos x - 3 cos 3x) = -3 sin x - 3(-sin 3x * 3) = -3 sin x + 9 sin 3x
Turunan penyebut baru: d/dx (3x²) = 6x

Maka limitnya menjadi:
lim x→0 (-3 sin x + 9 sin 3x) / 6x

Substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk tak tentu (-3*0 + 9*0) / (6*0) = 0/0. Gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang baru: d/dx (-3 sin x + 9 sin 3x) = -3 cos x + 9(cos 3x * 3) = -3 cos x + 27 cos 3x
Turunan penyebut baru: d/dx (6x) = 6

Maka limitnya menjadi:
lim x→0 (-3 cos x + 27 cos 3x) / 6

Sekarang substitusikan x=0:
= (-3 cos 0 + 27 cos 0) / 6
= (-3 * 1 + 27 * 1) / 6
= (-3 + 27) / 6
= 24 / 6
= 4

Jadi, nilai limitnya adalah 4.