Nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y)=10x+5y yang

50

Pembahasan

Untuk menemukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 10x + 5y yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
y >= 0
y <= 10x
3x + y >= 15
2x + y <= 12
Kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:
1. Menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut.
   - y >= 0: Daerah di atas sumbu x.
   - y <= 10x: Daerah di bawah atau pada garis y = 10x.
   - 3x + y >= 15 (atau y >= -3x + 15): Daerah di atas atau pada garis y = -3x + 15.
   - 2x + y <= 12 (atau y <= -2x + 12): Daerah di bawah atau pada garis y = -2x + 12.
2. Mencari titik-titik sudut (titik ekstrem) dari daerah penyelesaian tersebut.
   - Titik potong y = 0 dan 3x + y = 15: 3x = 15 => x = 5. Titik (5,0).
   - Titik potong y = 0 dan 2x + y = 12: 2x = 12 => x = 6. Titik (6,0).
   - Titik potong 3x + y = 15 dan 2x + y = 12:
     (3x + y) - (2x + y) = 15 - 12
     x = 3.
     Substitusikan x = 3 ke 2x + y = 12 => 2(3) + y = 12 => 6 + y = 12 => y = 6. Titik (3,6).
   - Titik potong y = 10x dan 2x + y = 12:
     2x + 10x = 12
     12x = 12 => x = 1.
     y = 10(1) = 10. Titik (1,10).
   - Titik potong y = 10x dan 3x + y = 15:
     3x + 10x = 15
     13x = 15 => x = 15/13.
     y = 10(15/13) = 150/13. Titik (15/13, 150/13).
3. Memeriksa apakah titik-titik sudut memenuhi semua pertidaksamaan.
   - (5,0): 0>=0 (Benar), 0<=50 (Benar), 15>=15 (Benar), 10<=12 (Benar). Titik (5,0) valid.
   - (6,0): 0>=0 (Benar), 0<=60 (Benar), 18>=15 (Benar), 12<=12 (Benar). Titik (6,0) valid.
   - (3,6): 6>=0 (Benar), 6<=30 (Benar), 9+6=15>=15 (Benar), 6+6=12<=12 (Benar). Titik (3,6) valid.
   - (1,10): 10>=0 (Benar), 10<=10 (Benar), 3+10=13>=15 (Salah). Titik (1,10) tidak valid.
   - (15/13, 150/13): 150/13>=0 (Benar), 150/13 <= 10(15/13) = 150/13 (Benar), 3(15/13) + 150/13 = 45/13 + 150/13 = 195/13 = 15 >= 15 (Benar), 2(15/13) + 150/13 = 30/13 + 150/13 = 180/13 ≈ 13.8 > 12 (Salah). Titik (15/13, 150/13) tidak valid.
   Perlu diperiksa kembali titik potong antara y=10x dan 3x+y=15, serta antara y=10x dan 2x+y=12 untuk menentukan batas daerah.
   Mari kita fokus pada titik-titik sudut yang terbentuk oleh garis-garis yang membatasi daerah yang valid.
   Titik potong yang relevan adalah perpotongan antara:
   a) 3x + y = 15 dan 2x + y = 12 --> (3, 6)
   b) 3x + y = 15 dan y = 0 --> (5, 0)
   c) 2x + y = 12 dan y = 0 --> (6, 0)
   d) Perpotongan antara y=10x dengan 3x+y=15: 3x+10x=15 => 13x=15 => x=15/13, y=150/13. Namun, periksa apakah ini valid untuk 2x+y<=12. 2(15/13)+150/13 = 30/13+150/13=180/13 > 12. Jadi titik ini di luar daerah.
   e) Perpotongan antara y=10x dengan 2x+y=12: 2x+10x=12 => 12x=12 => x=1, y=10. Periksa apakah ini valid untuk 3x+y>=15. 3(1)+10=13 < 15. Jadi titik ini di luar daerah.
   Jadi, titik-titik sudut yang perlu diuji adalah (3,6), (5,0), dan (6,0).
4. Evaluasi fungsi objektif f(x, y) = 10x + 5y di setiap titik sudut yang valid:
   - Di (3,6): f(3,6) = 10(3) + 5(6) = 30 + 30 = 60.
   - Di (5,0): f(5,0) = 10(5) + 5(0) = 50 + 0 = 50.
   - Di (6,0): f(6,0) = 10(6) + 5(0) = 60 + 0 = 60.
5. Bandingkan nilai-nilai tersebut untuk menemukan nilai minimum.
   Nilai minimumnya adalah 50.
Jadi, nilai minimum dari fungsi objektif tersebut adalah 50.