Nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y) = 5x + 7y yang

Nilai minimumnya adalah 30.

Pembahasan

Soal ini adalah masalah program linear.
Kita perlu mencari nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y) = 5x + 7y pada daerah yang memenuhi:
1. 3x + 2y >= 18
2. x + 2y >= 10
3. x >= 0
4. y >= 0

Langkah pertama adalah mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian.
Titik potong garis 3x + 2y = 18 dengan sumbu x (y=0): 3x = 18 => x = 6. Titik (6, 0).
Titik potong garis 3x + 2y = 18 dengan sumbu y (x=0): 2y = 18 => y = 9. Titik (0, 9).

Titik potong garis x + 2y = 10 dengan sumbu x (y=0): x = 10. Titik (10, 0).
Titik potong garis x + 2y = 10 dengan sumbu y (x=0): 2y = 10 => y = 5. Titik (0, 5).

Titik potong antara 3x + 2y = 18 dan x + 2y = 10:
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(3x + 2y) - (x + 2y) = 18 - 10
2x = 8
x = 4
Substitusikan x = 4 ke persamaan x + 2y = 10:
4 + 2y = 10
2y = 6
y = 3
Titik potongnya adalah (4, 3).

Sekarang, kita evaluasi fungsi objektif f(x,y) = 5x + 7y di titik-titik pojok yang relevan (mempertimbangkan x>=0, y>=0 dan daerah di atas garis-garis):
Titik (6, 0): f(6, 0) = 5(6) + 7(0) = 30
Titik (4, 3): f(4, 3) = 5(4) + 7(3) = 20 + 21 = 41
Titik (10, 0) tidak memenuhi 3x+2y>=18 (3*10+2*0 = 30>=18, tapi ini adalah titik potong dengan sumbu x dari garis kedua)
Titik (0, 9): f(0, 9) = 5(0) + 7(9) = 63
Titik (0, 5) tidak memenuhi 3x+2y>=18 (3*0+2*5 = 10 < 18)

Perlu diperiksa kembali daerah penyelesaiannya.
Untuk 3x+2y>=18, daerah di atas garis.
Untuk x+2y>=10, daerah di atas garis.
Untuk x>=0, y>=0, kuadran 1.

Titik pojok yang valid adalah (6,0), (4,3), dan (0,9).
Evaluasi fungsi objektif:
f(6,0) = 5(6) + 7(0) = 30
f(4,3) = 5(4) + 7(3) = 20 + 21 = 41
f(0,9) = 5(0) + 7(9) = 63

Nilai minimumnya adalah 30.