Nilai minimum dari S=x+2y yang memenuhi himpunan

4

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari S = x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
x + 2y <= 9
2x + y >= 8
x >= 0
y >= 0

Kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Langkah 1: Gambarkan garis-garis dari pertidaksamaan.
1. x + 2y = 9
   Jika x = 0, y = 4.5 (titik (0, 4.5))
   Jika y = 0, x = 9 (titik (9, 0))
2. 2x + y = 8
   Jika x = 0, y = 8 (titik (0, 8))
   Jika y = 0, x = 4 (titik (4, 0))
3. x = 0 (sumbu y)
4. y = 0 (sumbu x)

Langkah 2: Tentukan daerah penyelesaian.
- x + 2y <= 9: daerah di bawah atau pada garis x + 2y = 9.
- 2x + y >= 8: daerah di atas atau pada garis 2x + y = 8.
- x >= 0: daerah di sebelah kanan atau pada sumbu y.
- y >= 0: daerah di atas atau pada sumbu x.

Daerah penyelesaian adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis tersebut di kuadran pertama.

Langkah 3: Cari titik-titik potong (titik sudut) dari daerah penyelesaian.

a. Titik potong sumbu y (x=0) dengan 2x + y = 8: (0, 8)
   Cek dengan x + 2y <= 9: 0 + 2(8) = 16. 16 !<= 9. Jadi, (0, 8) bukan bagian dari daerah penyelesaian yang memenuhi kedua pertidaksamaan.

b. Titik potong sumbu x (y=0) dengan 2x + y = 8: (4, 0)
   Cek dengan x + 2y <= 9: 4 + 2(0) = 4. 4 <= 9. Jadi, (4, 0) adalah titik sudut.

c. Titik potong garis x + 2y = 9 dan 2x + y = 8.
   Dari 2x + y = 8, kita dapatkan y = 8 - 2x.
   Substitusikan ke x + 2y = 9:
x + 2(8 - 2x) = 9
x + 16 - 4x = 9
-3x = 9 - 16
-3x = -7
x = 7/3

   Cari y:
y = 8 - 2x = 8 - 2(7/3) = 8 - 14/3 = (24 - 14) / 3 = 10/3.
   Jadi, titik potongnya adalah (7/3, 10/3).
   Cek dengan x>=0 dan y>=0: 7/3 >= 0 dan 10/3 >= 0. Jadi, (7/3, 10/3) adalah titik sudut.

d. Titik potong sumbu y (x=0) dengan x + 2y = 9: (0, 4.5) atau (0, 9/2).
   Cek dengan 2x + y >= 8: 2(0) + 9/2 = 9/2 = 4.5. 4.5 !>= 8. Jadi, (0, 9/2) bukan bagian dari daerah penyelesaian yang memenuhi kedua pertidaksamaan.

Titik-titik sudut yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah (4, 0) dan (7/3, 10/3).
Kita juga perlu memeriksa titik potong garis x+2y=9 dengan sumbu x (9,0), namun 2x+y >= 8 menjadi 2(9)+0 = 18 >= 8, ini memenuhi, namun titik (9,0) tidak terletak di daerah yang dibatasi oleh 2x+y=8 dan sumbu y.

Periksa kembali batas-batas daerah penyelesaian. Kita punya empat garis:
x=0, y=0, x+2y=9, 2x+y=8. Daerahnya adalah di atas 2x+y=8 dan di bawah x+2y=9 di kuadran 1.

Titik sudut yang valid adalah:
1. Perpotongan 2x+y=8 dengan sumbu x (y=0) -> (4,0). Cek x+2y<=9: 4+0 <= 9 (Benar).
2. Perpotongan 2x+y=8 dengan x+2y=9 -> (7/3, 10/3). Cek x>=0, y>=0 (Benar).
3. Perpotongan x+2y=9 dengan sumbu y (x=0) -> (0, 9/2). Cek 2x+y>=8: 0+9/2 >= 8 (Salah, 4.5 < 8).

Jadi, titik-titik sudut yang relevan adalah (4, 0) dan (7/3, 10/3). Ada satu lagi titik sudut yang mungkin di sumbu y atau x.
Kita perlu memastikan daerahnya dibatasi dengan baik.

Pertidaksamaan:
x >= 0
y >= 0
x + 2y <= 9
2x + y >= 8

Titik pojok:
1. Perpotongan x=0 dan 2x+y=8  -> (0,8). Cek x+2y<=9 -> 0+16 <=9 (Salah)
2. Perpotongan y=0 dan 2x+y=8  -> (4,0). Cek x+2y<=9 -> 4+0 <=9 (Benar). Titik (4,0).
3. Perpotongan x=0 dan x+2y=9  -> (0, 4.5). Cek 2x+y>=8 -> 0+4.5 >=8 (Salah)
4. Perpotongan y=0 dan x+2y=9  -> (9,0). Cek 2x+y>=8 -> 18+0 >=8 (Benar). Titik (9,0).
5. Perpotongan x+2y=9 dan 2x+y=8 -> (7/3, 10/3). Cek x>=0, y>=0 (Benar). Titik (7/3, 10/3).

Jadi, titik-titik sudut yang memenuhi adalah (4,0), (9,0), dan (7/3, 10/3).

Langkah 4: Substitusikan titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan S = x + 2y.
- Untuk (4, 0): S = 4 + 2(0) = 4.
- Untuk (9, 0): S = 9 + 2(0) = 9.
- Untuk (7/3, 10/3): S = 7/3 + 2(10/3) = 7/3 + 20/3 = 27/3 = 9.

Nilai minimum dari S adalah 4, yang terjadi pada titik (4, 0).