Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x-5 cos x=2

x = 120° dan x = 240°

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan cos 2x - 5 cos x = 2, kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk cos 2x. Identitas yang paling cocok di sini adalah cos 2x = 2 cos^2 x - 1, karena persamaan hanya melibatkan cos x.
Mengganti identitas ke dalam persamaan:
(2 cos^2 x - 1) - 5 cos x = 2
2 cos^2 x - 5 cos x - 1 - 2 = 0
2 cos^2 x - 5 cos x - 3 = 0
Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk cos x. Misalkan y = cos x, maka persamaan menjadi:
2y^2 - 5y - 3 = 0
Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y + 1)(y - 3) = 0
Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk y:
2y + 1 = 0  =>  y = -1/2
y - 3 = 0   =>  y = 3
Karena y = cos x, kita memiliki:
cos x = -1/2
cos x = 3
Nilai cos x tidak pernah lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1. Oleh karena itu, cos x = 3 tidak memiliki solusi.
Sekarang kita selesaikan cos x = -1/2 untuk 0 <= x <= 360 derajat.
Dalam rentang ini, cosinus bernilai negatif di kuadran kedua dan ketiga.
Sudut referensi untuk cos x = 1/2 adalah 60 derajat (pi/3 radian).
Di kuadran kedua, x = 180 - 60 = 120 derajat.
Di kuadran ketiga, x = 180 + 60 = 240 derajat.
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan adalah 120 derajat dan 240 derajat.