Nilai rata-rata ulangan matematika dari 8 anak adalah 70

Nilai tertinggi yang diperoleh siswa itu adalah 91.

Pembahasan

Misalkan nilai tertinggi adalah T dan nilai terendah adalah R. Diketahui T - R = 24.
Ada 8 anak dengan rata-rata nilai 70. Jumlah total nilai = 8 * 70 = 560.
Misalkan nilai 7 siswa lainnya adalah S. Maka, T + 7S = 560.
Karena 7 siswa lainnya mendapat nilai yang sama, maka S adalah nilai mereka.
Kita juga tahu bahwa R adalah nilai terendah. Jika T adalah nilai tertinggi, maka R harus lebih kecil dari atau sama dengan S, dan S harus lebih kecil dari atau sama dengan T. Namun, karena hanya ada satu siswa yang mendapat nilai tertinggi, maka S < T. Demikian pula, karena hanya ada satu siswa yang mendapat nilai terendah (atau satu nilai terendah), maka R <= S.
Kita punya T = R + 24.
Substitusikan T ke dalam persamaan jumlah nilai: (R + 24) + 7S = 560.
R + 7S = 536.
Karena nilai terendah adalah R, dan 7 siswa lain mendapat nilai S, maka R adalah nilai terendah di antara mereka atau sama dengan S. Paling tidak R <= S.
Kasus 1: R = S.
Maka R + 7R = 536 => 8R = 536 => R = 67.
Jika R = 67, maka T = R + 24 = 67 + 24 = 91.
Dalam kasus ini, 7 siswa mendapat nilai 67, dan 1 siswa mendapat nilai 91. Nilai terendah adalah 67, nilai tertinggi adalah 91. Selisihnya 24. Rata-ratanya = (91 + 7*67) / 8 = (91 + 469) / 8 = 560 / 8 = 70. Ini sesuai.
Kasus 2: R < S.
Jika R < S, dan nilai terendah adalah R, serta 7 siswa lainnya mendapat nilai S. Maka R adalah nilai terendah dari 8 siswa tersebut. S adalah nilai yang sama untuk 7 siswa lain. T adalah nilai tertinggi untuk 1 siswa.
Kita memiliki T - R = 24 dan T + 7S = 560.
Karena S adalah nilai yang sama untuk 7 siswa, dan R adalah nilai terendah, serta T adalah nilai tertinggi, maka R <= S <= T.
Jika R < S, maka S setidaknya R + epsilon (dimana epsilon > 0).
Jika S < T, maka T setidaknya S + delta (dimana delta > 0).
Kembali ke R + 7S = 536.
Dan T = R + 24.
Kita tidak bisa menentukan nilai pasti S jika R < S.
Namun, mari kita pertimbangkan ulang kondisi soal: "7 siswa lainnya mendapat nilai yang sama". Ini menyiratkan bahwa nilai dari 7 siswa tersebut adalah S, dan nilai siswa yang berbeda adalah T.
Jika S adalah nilai yang sama untuk 7 siswa, dan R adalah nilai terendah, maka R <= S. Jika T adalah nilai tertinggi, maka S <= T.
Namun, jika 7 siswa lain mendapat nilai yang sama, dan ada satu siswa dengan nilai tertinggi, serta selisih nilai tertinggi dan terendahnya adalah 24, ini paling masuk akal jika nilai terendah adalah nilai dari 7 siswa tersebut (R=S), atau nilai terendah dimiliki oleh siswa yang nilainya berbeda dengan 7 siswa lainnya.
Mari kita asumsikan bahwa 7 siswa mendapat nilai S, dan siswa ke-8 mendapat nilai T (tertinggi). Maka nilai terendah haruslah S atau nilai lain yang lebih rendah. Jika nilai terendah adalah R, maka R bisa jadi S atau nilai lain.
Jika kita mengasumsikan bahwa 7 siswa mendapat nilai S, dan siswa ke-8 mendapat nilai T, dan nilai terendah dari kedelapan siswa adalah R, dan nilai tertinggi adalah T.
Diketahui: T - R = 24.
Jumlah nilai = T + 7S = 560.
Jika nilai terendah R adalah nilai dari 7 siswa yang sama (R=S), maka T + 7R = 560. Dan T = R + 24. Maka (R + 24) + 7R = 560 => 8R + 24 = 560 => 8R = 536 => R = 67. Maka T = 67 + 24 = 91. Dalam skenario ini, 7 siswa mendapat 67, dan 1 siswa mendapat 91. Nilai terendah = 67, tertinggi = 91. Selisih = 24. Rata-rata = (91 + 7*67)/8 = 70. Ini konsisten.
Namun, jika nilai terendah R berbeda dari S. Misalnya R < S. Maka R adalah nilai terendah, T adalah nilai tertinggi. T - R = 24. T + 7S = 560.
Karena 7 siswa lain mendapat nilai yang sama (S), dan hanya 1 siswa yang mendapat nilai tertinggi (T), maka R tidak mungkin sama dengan S jika S < T. Jika R = S, maka nilai terendah adalah S, dan nilai tertinggi adalah T.
Tetapi jika 7 siswa mendapat nilai S, dan siswa ke-8 mendapat nilai T, dan nilai terendah adalah R, maka R haruslah S atau lebih rendah.
Mari kita kembali ke interpretasi: "7 siswa lainnya mendapat nilai yang sama". Ini berarti ada dua kelompok nilai: satu nilai (S) yang dimiliki oleh 7 siswa, dan nilai lain (T) yang dimiliki oleh 1 siswa. Total ada 8 siswa. Nilai tertinggi adalah T, nilai terendah adalah R.
Jadi, nilai-nilai ulangan adalah: S, S, S, S, S, S, S, T.
Nilai tertinggi = T.
Nilai terendah = R.
Selisih tertinggi dan terendah = T - R = 24.
Rata-rata = (7S + T) / 8 = 70.
7S + T = 560.
Karena R adalah nilai terendah, maka R <= S.
Karena T adalah nilai tertinggi, maka S <= T.
Karena hanya ada satu siswa dengan nilai tertinggi, maka S < T.
Karena selisih nilai tertinggi dan terendah adalah 24, dan nilai-nilai yang ada adalah S dan T, maka nilai terendah R haruslah S (jika S < T), atau ada nilai lain R < S.
Jika nilai terendah adalah S, maka R = S. Maka T - S = 24.
Kita punya sistem persamaan:
T + 7S = 560
T - S = 24
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(T + 7S) - (T - S) = 560 - 24
8S = 536
S = 67.
Maka T = S + 24 = 67 + 24 = 91.
Dalam kasus ini, 7 siswa mendapat nilai 67, dan 1 siswa mendapat nilai 91. Nilai terendah = 67, tertinggi = 91. Selisih = 24. Rata-rata = (7*67 + 91)/8 = (469 + 91)/8 = 560/8 = 70. Ini konsisten dengan semua kondisi.