Nilai (x + y) paling kecil untuk himpunan penyelesaian

Nilai (x + y) paling kecil adalah 11/9.

Pembahasan

Untuk mencari nilai (x + y) paling kecil dari himpunan penyelesaian program linear {(x, y) | 5y + 3x≥5; 2y + 3x≥3; x≥0; y≥0}, kita perlu menggunakan metode program linear, yaitu:

1.  Menggambar daerah penyelesaian (daerah feasibel).
2.  Menentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut.
3.  Mengevaluasi fungsi tujuan (dalam hal ini, z = x + y) di setiap titik pojok.
4.  Nilai minimum atau maksimum dari fungsi tujuan adalah nilai yang terkecil atau terbesar di antara hasil evaluasi tersebut.

Langkah 1: Gambar daerah penyelesaian.
Kita memiliki kendala:
1.  5y + 3x ≥ 5
    Untuk menggambar garis 5y + 3x = 5:
    Jika x = 0, 5y = 5 => y = 1. Titik (0, 1).
    Jika y = 0, 3x = 5 => x = 5/3. Titik (5/3, 0).
    Daerah yang memenuhi 5y + 3x ≥ 5 berada di atas atau pada garis ini.

2.  2y + 3x ≥ 3
    Untuk menggambar garis 2y + 3x = 3:
    Jika x = 0, 2y = 3 => y = 3/2. Titik (0, 3/2).
    Jika y = 0, 3x = 3 => x = 1. Titik (1, 0).
    Daerah yang memenuhi 2y + 3x ≥ 3 berada di atas atau pada garis ini.

3.  x ≥ 0
    Ini berarti daerah berada di sebelah kanan atau pada sumbu y.

4.  y ≥ 0
    Ini berarti daerah berada di atas atau pada sumbu x.

Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi semua kondisi ini, yaitu di kuadran pertama dan di atas kedua garis.

Langkah 2: Tentukan titik-titik pojok.
Titik-titik pojok adalah perpotongan dari garis-garis batas kendala.

    a. Perpotongan sumbu y (x=0) dengan 5y + 3x = 5:
       5y + 3(0) = 5 => 5y = 5 => y = 1. Titik (0, 1).

    b. Perpotongan sumbu y (x=0) dengan 2y + 3x = 3:
       2y + 3(0) = 3 => 2y = 3 => y = 3/2. Titik (0, 3/2).
       Perhatikan bahwa (0, 3/2) berada di atas (0, 1). Jadi, titik pojok pada sumbu y adalah (0, 3/2).

    c. Perpotongan sumbu x (y=0) dengan 5y + 3x = 5:
       5(0) + 3x = 5 => 3x = 5 => x = 5/3. Titik (5/3, 0).

    d. Perpotongan sumbu x (y=0) dengan 2y + 3x = 3:
       2(0) + 3x = 3 => 3x = 3 => x = 1. Titik (1, 0).
       Perhatikan bahwa (5/3, 0) berada di kanan (1, 0). Jadi, titik pojok pada sumbu x adalah (5/3, 0).

    e. Perpotongan garis 5y + 3x = 5 dan 2y + 3x = 3.
       Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
       Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
       (5y + 3x) - (2y + 3x) = 5 - 3
       3y = 2
       y = 2/3

       Substitusikan y = 2/3 ke salah satu persamaan, misalnya 2y + 3x = 3:
       2(2/3) + 3x = 3
       4/3 + 3x = 3
       3x = 3 - 4/3
       3x = 9/3 - 4/3
       3x = 5/3
       x = 5/9

       Jadi, titik potongnya adalah (5/9, 2/3).

Titik-titik pojok dari daerah penyelesaian adalah:
- Titik A: (0, 3/2)
- Titik B: (5/9, 2/3)
- Titik C: (5/3, 0)

Langkah 3: Evaluasi fungsi tujuan z = x + y di setiap titik pojok.

    a. Di titik A (0, 3/2):
       z = 0 + 3/2 = 3/2 = 1.5

    b. Di titik B (5/9, 2/3):
       Untuk menjumlahkan, samakan penyebutnya (menjadi 9):
       y = 2/3 = 6/9
       z = 5/9 + 6/9 = 11/9 ≈ 1.22

    c. Di titik C (5/3, 0):
       z = 5/3 + 0 = 5/3 ≈ 1.67

Langkah 4: Tentukan nilai minimum.
Nilai-nilai z yang diperoleh adalah 1.5, 11/9, dan 5/3.

11/9 = 1.222...
1.5 = 3/2 = 13.5/9
5/3 = 15/9 = 1.666...

Nilai terkecil adalah 11/9.

Jadi, nilai (x + y) paling kecil untuk himpunan penyelesaian program linear tersebut adalah 11/9.