Nilai x yang memenuhi 2log x-xlog 2>0 adalah....

1/2 < x < 1 atau x > 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma 2log x - xlog 2 > 0, kita perlu memahami sifat-sifat logaritma.

Sifat logaritma yang relevan adalah:
1. a log b = (log b) / (log a) (sifat perubahan basis)
2. a log a = 1
3. log_a b = 1 / (log_b a)

Kita juga perlu memperhatikan syarat numerus (argumen logaritma) harus positif, yaitu x > 0.

Mari kita ubah pertidaksamaan menggunakan sifat perubahan basis:
(log x) / (log 2) - (log 2) / (log x) > 0

Misalkan y = (log x) / (log 2). Maka pertidaksamaan menjadi:
y - 1/y > 0

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita samakan penyebutnya:
(y^2 - 1) / y > 0
(y - 1)(y + 1) / y > 0

Sekarang kita cari akar-akar dari pembilang dan penyebut:
y = 1, y = -1, y = 0.

Kita uji interval pada garis bilangan:
- Jika y < -1 (misal y = -2): (-2 - 1)(-2 + 1) / -2 = (-3)(-1) / -2 = 3 / -2 = -1.5 (negatif)
- Jika -1 < y < 0 (misal y = -0.5): (-0.5 - 1)(-0.5 + 1) / -0.5 = (-1.5)(0.5) / -0.5 = -0.75 / -0.5 = 1.5 (positif)
- Jika 0 < y < 1 (misal y = 0.5): (0.5 - 1)(0.5 + 1) / 0.5 = (-0.5)(1.5) / 0.5 = -0.75 / 0.5 = -1.5 (negatif)
- Jika y > 1 (misal y = 2): (2 - 1)(2 + 1) / 2 = (1)(3) / 2 = 3 / 2 = 1.5 (positif)

Jadi, solusi untuk y adalah -1 < y < 0 atau y > 1.

Sekarang kita substitusikan kembali y = (log x) / (log 2):

Kasus 1: -1 < (log x) / (log 2) < 0
Karena log 2 positif, kita bisa mengalikan semua bagian dengan log 2:
-1 * log 2 < log x < 0 * log 2
log(2^-1) < log x < log(2^0)
log(1/2) < log x < log(1)

Karena basis logaritma (misalnya log basis 10 atau log basis e) lebih besar dari 1, fungsi logaritma bersifat monoton naik. Jadi, kita bisa menghilangkan log:
1/2 < x < 1

Kasus 2: (log x) / (log 2) > 1
Karena log 2 positif:
log x > 1 * log 2
log x > log 2

Karena basis logaritma lebih besar dari 1:
x > 2

Kita juga harus ingat syarat numerus, yaitu x > 0. Kedua solusi yang kita dapatkan (1/2 < x < 1 dan x > 2) sudah memenuhi syarat x > 0.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1/2 < x < 1 atau x > 2.

Jawaban Ringkas: 1/2 < x < 1 atau x > 2.