Nilai x yang memenuhi persamaan 4^(2x+1).3^(4x)=64

x = log_6(2)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial 4^(2x+1) * 3^(4x) = 64, kita perlu menyederhanakan kedua sisi persamaan agar memiliki basis yang sama atau menggunakan logaritma. 

Pertama, kita ubah 64 menjadi basis 4:
64 = 4^3

Jadi, persamaannya menjadi:
4^(2x+1) * 3^(4x) = 4^3

Karena ada perkalian antara basis yang berbeda (4 dan 3), kita tidak bisa langsung menyamakan eksponennya. Kita perlu mencoba menyederhanakan lebih lanjut atau menggunakan logaritma.

Mari kita coba ubah soalnya sedikit atau cari cara lain. Perhatikan bahwa 4 = 2^2. Maka:
(2^2)^(2x+1) * 3^(4x) = (2^2)^3
2^(4x+2) * 3^(4x) = 2^6

Untuk menyelesaikan ini, kita harus mengisolasi variabel x. Kita bisa membagi kedua sisi dengan 2^(4x) atau mencoba menggabungkan suku-suku yang memiliki basis sama.

2^(4x+2) / 2^6 = 3^(-4x)
2^(4x + 2 - 6) = 3^(-4x)
2^(4x - 4) = 3^(-4x)

Sekarang kita memiliki basis yang berbeda di kedua sisi. Untuk menyelesaikan x, kita perlu menggunakan logaritma. Kita bisa mengambil logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log) di kedua sisi.
Mari kita gunakan logaritma natural (ln):
ln(2^(4x - 4)) = ln(3^(-4x))

Menggunakan sifat logaritma (ln(a^b) = b * ln(a)):
(4x - 4) * ln(2) = (-4x) * ln(3)

Sekarang, kita distribusikan ln(2) dan kumpulkan semua suku yang mengandung x:
4x * ln(2) - 4 * ln(2) = -4x * ln(3)

Pindahkan semua suku yang mengandung x ke satu sisi:
4x * ln(2) + 4x * ln(3) = 4 * ln(2)

Faktorkan x:
x * (4 * ln(2) + 4 * ln(3)) = 4 * ln(2)

Gabungkan logaritma di dalam kurung menggunakan sifat ln(a) + ln(b) = ln(ab):
x * (4 * ln(2 * 3)) = 4 * ln(2)
x * (4 * ln(6)) = 4 * ln(2)

Sekarang, selesaikan untuk x:
x = (4 * ln(2)) / (4 * ln(6))

Sederhanakan:
x = ln(2) / ln(6)

Menggunakan sifat logaritma log_b(a) = ln(a) / ln(b), kita bisa menulis ini sebagai:
x = log_6(2)

Jika kita ingin nilai numerik, kita bisa menghitungnya:
ln(2) ≈ 0.6931
ln(6) ≈ 1.7918
x ≈ 0.6931 / 1.7918 ≈ 0.3868

Namun, mari kita periksa kembali soalnya. Mungkin ada cara yang lebih sederhana jika kita melihat angka-angkanya.
4^(2x+1) * 3^(4x) = 64
(2^2)^(2x+1) * 3^(4x) = 2^6
2^(4x+2) * 3^(4x) = 2^6

Jika kita coba substitusi nilai x yang mungkin (meskipun biasanya soal seperti ini diselesaikan secara aljabar).
Bagaimana jika kita mencoba mengisolasi basis 3?
2^(4x+2) = 2^6 * 3^(-4x)

Mari kita coba cara lain. Perhatikan bahwa 4^1 * 3^0 = 4, 4^2 * 3^4 = 16 * 81 = 1296. Tidak membantu.

Mari kita kembali ke persamaan:
2^(4x - 4) = 3^(-4x)
(2^4)^(x-1) = (3^-4)^x
16^(x-1) = (1/81)^x

Ini masih sulit diselesaikan tanpa logaritma.

Bagaimana jika kita coba manipulasi persamaan 2^(4x+2) * 3^(4x) = 2^6 agar terlihat lebih sederhana?
Kita bisa membagi kedua sisi dengan 2^2:
2^(4x) * 3^(4x) = 2^4
(2*3)^(4x) = 16
6^(4x) = 16

Nah, ini jauh lebih mudah! Ambil logaritma basis 6 di kedua sisi:
log_6(6^(4x)) = log_6(16)
4x = log_6(16)

Sekarang kita bisa menyelesaikan x:
x = log_6(16) / 4

Menggunakan sifat logaritma log_b(a^c) = c * log_b(a):
x = (1/4) * log_6(16)

Kita juga bisa menulis 16 sebagai 2^4:
x = (1/4) * log_6(2^4)
x = (1/4) * 4 * log_6(2)
x = log_6(2)

Ini konsisten dengan hasil sebelumnya. Namun, cara mendapatkan 6^(4x) = 16 adalah dengan membagi 2^(4x+2) * 3^(4x) = 2^6 dengan 2^2. Ini berarti kita harus membagi 2^(4x+2) dengan 2^2.

Mari kita periksa kembali langkah:
2^(4x+2) * 3^(4x) = 2^6
2^(4x) * 2^2 * 3^(4x) = 2^6
2^(4x) * 3^(4x) = 2^6 / 2^2
(2*3)^(4x) = 2^(6-2)
6^(4x) = 2^4
6^(4x) = 16

Ini benar.

Jadi, nilai x adalah log_6(2).

Untuk mendapatkan nilai numerik:
x = log_6(2) = ln(2) / ln(6) ≈ 0.6931 / 1.7918 ≈ 0.3868

Jika soal ini berasal dari pilihan ganda, mungkin ada bentuk lain dari jawaban tersebut. Mari kita coba nyatakan dalam basis 2 atau 3.

Dari 6^(4x) = 16, kita bisa mengambil logaritma basis 2:
log_2(6^(4x)) = log_2(16)
4x * log_2(6) = 4
x * log_2(6) = 1
x = 1 / log_2(6)

Menggunakan sifat logaritma 1 / log_b(a) = log_a(b):
x = log_6(2)

Ini tetap sama.

Mari kita periksa lagi soalnya, mungkin ada nilai x yang